指数関数の線形結合が0を通過する条件について

質問

a1,a2,a3を相異なる正の実数，b1,b2,b3を相異なる実数とします。
これらを用いて，実数xの連続関数：
f(x) = a1*a2*(b1-b2)*exp[(b1+b2)*x]
+ a2*a3*(b2-b3)*exp[(b2+b3)*x]
+ a3*a1*(b3-b1)*exp[(b3+b1)*x]
を定義します。

いま，xを-∞から∞まで連続的に動かすとき，f(x)が0を1度も通過しない（y = f(x)のグラフがx軸と交差しない）ようなa1,a2,a3,b1,b2,b3の組合せは存在するでしょうか？

もし存在する場合，そのようなa1,a2,a3,b1,b2,b3の組合せは，どのような条件を満たすでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.11

noname#101087

不足ぶんを補足。
--------------

i.e.　K1*e^(d1*x) > K2*e^(d2*x)
　　　　　↓
　K1/K2 > e^{(d2-d1)x}
成立するのは、d2 = d1, K1/K2 > 1 の場合だけみたいです。

回答No.10

noname#101087

気をとりなおし、再考。

まずは、
　y = K1*e^(d1*x) - K2*e^(d2*x) > 0　　; K1, K2 > 0
の非負条件から。

i.e.　K1*e^(d1*x) > K2*e^(d2*x)
　　　　　↓
　K1/K2 > e^{(d2-d1)x}
成立するのは、d2 = d1 の場合だけみたいです。

無理やり原題に適用すると三つの項の一つが零になりますけど、いかが？

回答No.9

noname#101087

散々の失礼でした。今までのはすべて「キャンセル」させてください。
グラフを描いて、ようやく覚醒しました。

描いたグラフ。
　y = A1*β1*(u^b1) + A2*β2*(u^b2) + A3*β3*(u^b3)
　　A1, A2, A3 > 0, u > 0 。
　　β1 + β2 + β3 = 0 としてβ1, β2 を与える。
　　b1 を与え、b2 = b1 - β2, b3 = b2 + β3 。

u = 0 のあと、単調変化とは限らず、波打つんですね。
難問で、あとが続かず「キャンセル」のみ。

お礼

詳細にご検討頂き，ありがとうございます。
たびたびお世話になっております。
このグラフの式での，文字の置き方すごいですね！
途中の議論について，恐縮ながら私には理解が及ばない部分もありましたが，この関数は，挙動も複雑で，難問であるということがわかりました。
とりあえず，f(x)が0を1度も通過しない場合は確かにあり，その条件を一般化することは難しい！ということがわかり，実務上の主要な問題は解決しました。

回答No.8

Tacosan

ちなみに a1～a3 はそのままにして b1 と b3 を入れ替えると「全ての x で正」とできることにも注意＞#6.
ついでにいうと「D1, D2, D3 がすべて非正」ということでもないです. D1 = -10, D2 = -1 は負ですが D3 = 0.2 は正です.
今の式は対称性が高いのでこの式のまま考える方がいいのか, それとも対称性を壊しても変数の数を減らした方がいいのかは分かりません.

回答No.7

noname#101087

>a1,a2,a3を相異なる正の実数，b1,b2,b3を相異なる実数とします。
　　↓
a1*a2*a3≠0 と解釈し、さらに「縮退？」の場合、つまり b1*b2*b3≠0 の場合を排除してみます。
非縮退の場合は、「f(x)が 0 を一度も通過しないような a1,a2,a3,b1,b2,b3 の組合せは存在」しないような気になり始めました。

…どこかが、おかしいのでしょうか？

回答No.6

noname#101087

#5 さんのコメント。
>..... a1 = 1, a2 = 10, a3 = 0.1, b1 = -1, b2 = 0, b3 = 1 とおくと f(x) = -10e^(-x) - e^x + 0.2 となり, 明らかにこれは全ての x で負です.

あ、これを見落としてましたね。非負ばかりに気をとられてました。

つまり、
　L(v1,v2,v3) = D1*v1 + D2*v2 + D3*v3
の「D1, D2, D3 がすべて非正」の場合ですね。

---------
再掲。
　↓
>u1 = exp(b1*x), u2 = exp(b2*x), u3 = exp(b3*x)
>u1*u2 = v1, u1*u3 = v2, u2*u3 = v3 として (v1, v2, v3 > 0)

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回答No.5

Tacosan

v1, v2, v3 が独立じゃないのでそんなに単純じゃないです＞#4.
実際, a1 = 1, a2 = 10, a3 = 0.1, b1 = -1, b2 = 0, b3 = 1 とおくと
f(x) = -10e^(-x) - e^x + 0.2
となり, 明らかにこれは全ての x で負です.

回答No.4

noname#101087

>u1*u2 = v1, u1*u3 = v2, u2*u3 = v3 として (v1, v2, v3 > 0 )、
>　L(v1,v2,v3) = D1*v1 + D2*v2 + D3*v3
>の非負性問題 ......

だとすると、D1, D2, D3 がすべて非負でなければいけません。
しかし問題の条件から、それはあり得ない。

…どこかが、おかしかったのでしょうか？

回答No.3

noname#101087

>「二次形式の非負性問題」に疎いので、とりあえずここまで…

「二次形式」は勇み足でしたね。出直してみましょう。

u1*u2 = v1, u1*u3 = v2, u2*u3 = v3 として (v1, v2, v3 > 0)、
　L(v1,v2,v3) = D1*v1 + D2*v2 + D3*v3
の非負性問題。

…と考えるほうが無難かも。

回答No.2

noname#101087

試しに u1 = exp(b1*x), u2 = exp(b2*x), u3 = exp(b3*x) としてみると、u1, u2, u3 > 0 における二次形式の非負性問題らしい。

a1*a2*(b1-b2) = 2C1, a2*a3*(b2-b3) = 2C2, a3*a1*(b3-b1) = 2C3 と置いてみれば、二次形式の係数行列は、
　| 0　C1　C2|
　|C1　 0　C3|
　|C2　C3　0 |
でしょうかね。

「二次形式の非負性問題」に疎いので、とりあえずここまで…