誘電率(電気感受率)テンソルの対角化

質問

単斜晶系の電気感受率テンソルを対角化しようとしているのですが、なかなか出来ません。具体的な問題設定と今抱えている疑問は以下の通りです。

座標変換：y軸を回転軸としてθだけ回転させる。
電気感受率テンソル(χ)(3×3行列)　(χ_(31)=χ_(13))
(いちおχ_(33)が他の成分よりも結構大きいと考えています。)
χ_(11)　0　　χ_(13)　　a　0　b
　0　　χ_(22)　0　　⇒　0　c　0
χ_(31)　0　　χ_(33)　　b　0　d　簡単のためa～dで置いときます。
自分は変換行列(U)として次のものを使いました。
cosθ　0　sinθ
　0　　1　　0
-sinθ　0　cosθ
具体的に対角化はUχU^(-1)を計算していきました。この計算を行うと非対角成分が出てくるので、これをゼロにするという方程式を作ると以下の式が得られました。
tan2θ=-2b/(d-a)
これを満たすものとして
(i)cos2θ=(d-a)/((d-a)^2 +(2b)^2)^(1/2) ・・・右辺を(ア)とラベルしときます。 sin2θ=-2b/((d-a)^2 +(2b)^2)^(1/2)・・・同様に(イ)
(ii)cos2θ=-(ア) , sin2θ=-(イ)
という2パターンを考えました。これらを使って対角成分(←変換したもの)からθを消去すると、自分が欲しい結果は(i)を採用すると得られるのですが、(ii)を採用した場合は異なる結果が現れてしまいます。両者とも条件を満たしているにも関わらず(i)を採用して、(ii)が不適という理由がわかりません。

回答No.1

sono0315 · ベストアンサー

一般的な数学のルールとして確認ですが、
tan2θ=-2b/(d-a)
ここでd>aであるから、tan2θ<0ですよね？

よってsin2θはマイナスの値を必ず取らなければいけません。
もちろんcos2θは必ずプラスでなければいけません。

だから符号を交換したのは一見tan2θを満足してるようだけど、
cos、sinのそれぞれを満たしていないんですね

お礼

返信遅れましてスイマセン。
ありがとうございます。
このことで一日中、頭がいっぱいでしたが、ようやく理由がわかりました。
とにかく、ありがとうございます。