ローレンツ群の元Ａの対角化を考えたとき

質問

教科書を読んでいてどうしてもわからないことがあって質問します、大学生です。

ローレンツ群Ｇの元Ａの対角化　U^(-1)AU = A_D

を行ったとき、U もローレンツ群の元であることを示す中で、

A^(T)U^(-T)gU^(-1)A = U^(-T)A_D^(T)gA_D^(T)U^(-1) = U^(-T)gU^(-1)

としているのですが、これは最後の変形で、A_D がGの元であることを使っているのでしょうか？
それはどこからわかるのでしょうか？

A_D が対角化されていても、 条件 A^T g A=g から得られる情報はA_D の行列式すなわち対角成分の積が±１ということだけで、A_D^T g A_D = g が導けるとは思えません…

あるいは (A_D)^2 = E を示せばよさそうですが、これも難しそうです。

基礎的な質問でお恥ずかしいのですが、アドバイスいただけないでしょうか？よろしくおねがいします。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

U^(-1)AUが対角行列であるとします。V=2Uと定義するとV^(-1)AVも対角行列になります。
ところが、V^TgV = (2U)^Tg(2U) =4U^TgU ですので、gが0でないのならV^TgV,U^TgUの両方が同時にgに等しくなる事がありません。何の説明も書かれていませんがgは計量テンソル(従って0でない)でしょうから、U,Vが共にローレンツ群の元にはなり得ません。

何か勘違いしている？？

どこかでUがローレンツ群の元であるというのと等価な条件を課さないと、書かれているような話にはならないと思うのですが。

本の目次をみる限り、直交群やユニタリ群の話も載っているようですので、これらの対角化の話がもしも載っているのならそれと比較してみては。

お礼

ありがとうございます。
仰るとおりです。

とりあえず無視して読み進め、自分で解決できるようがんばってみます（＾＾；）

回答No.1

eatern27

普通に考えれば、Uがローレンツ群の元ではない例はたくさんあると思うのだけどなぁ。
本当にその部分ではUがローレンツ群の元である事を証明しているんですか？

そうであれば、とりあえず、ローレンツ群の定義とUの定義はなんでしょうか？
(Uに関してはU^(-1)AUが対角行列なら何でもいいのかどうかが分かるように)

お礼

P252

補足

回答ありがとうございます。

ローレンツ群の定義は、A^(T)gA = g を満たす正則行列です。
以下教科書の文章をそのまま載せます。

『ローレンツ変換の行列は適当な正則行列Ｕによる相似変換 A = U(A_D)U^(-1) によって対角化できる。
このときＵもまたローレンツ変換の行列であることが言える。実際、

A^(T)U^(-T)gU^(-1)A = U^(-T)(A_D)g(A_D)U^(-1) = U^(-T)gU^(-1)

が任意のローレンツ変換の行列Ａに対して成り立つから U^(-T)gU^(-1) = g である。
そこでA_Dの対角成分をa1～a4とするとai^2 = 1である。』

佐藤光“物理数学特論　群と物理”丸善　より