対角化

質問

A=
|2 1 -3|
|-2 5 -2|
|1 -1 6|
を対角化したいのですが、変換行列Tを求めても答があいません。ちなみに
T=
|1 1 1|
|1 0 1|
|0 -1 -1|
になりました。Tがおかしいと思うのですが・・・教えてください。

回答No.1

Landolt · ベストアンサー

横ベクトルはすべて縦ベクトルとして考えてください。

固有方程式の解を求めると、λ＝３，５（重解）となったはずです。

<1,1,0>は固有値３に対する固有ベクトルであってます。
<1,0,-1>は固有値５に対する固有ベクトルであってます。

ここでなのですが、行列Ａの固有値５に対するベクトル空間は１次元なので、
実はＡは対角化することはできません。
しかし、固有値５に対する一般化されたベクトル空間は２次元なので、
この中から３つ目のベクトルをとることによって変換行列Ｔを求められます。
こうしてつくられた行列Ａ'＝Ｔ(-1)*Ａ*Ｔがジョルダン標準形と呼ばれるものです。

そろそろ授業で習ったような気がしてきたと思いますので、解説はこれぐらいにしておきます。
完成形は
|3 0 0|
|0 5 1|
|0 0 5|
になるはずです。
やってみてください。