積におけるべき乗について詳しく質問します

質問

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97
によれば、xとyが積*について可換ならば、有理数rについて
(x*y)r=(x^r)*(y^r)が成り立つらしいです。

そこで、
xとyが積*についてx*y=-y*xであるとき、
(x*y)^2=(x^2)*(y^2) が成り立つことを示したいのですが、
(x*y)^2=(x*y)(x*y)=-x*x*y*y=-(x^2)*(y^2)
となってうまくいきません。
(x*y)^2=(-y*x)^2=(y*x)^2となり、( )^2
の中ではxとyの積は可換なので
(x*y)^2=(x^2)*(y^2) が成り立つだろうと思っていたのですが…

ちなみに、xとyが積*についてx*y=-y*xであるとき、
(xy)^4=(xy)(xy)(xy)(xy)=-xxyyxyxy
=xxyxyyxy=-xxxyyyxy=xxxyyxyy=-xxxyxyyy
=xxxxyyyy=(x^4)(y^4)
は成り立つのですが…
すると、{(xy)^4)}^(1/2)={(x^4)(y^4)}^(1/2)
∴ (xy)^2=(x^2)(y^2)　　となります。

xとyが積*についてx*y=-y*xであるとき、
(x*y)^2=(x^2)*(y^2) が成り立つということが間違っているのか、
それとも、証明の途中計算が間違っているのかどっちなのか
教えてください。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

前回質問のほうへ回答しておきましたが、
御覧いただけませんでしたか？

xy = -yx が成り立つような環では、
任意の x について x = -x が成り立ちます。
上の式に y = 単位元 を代入すれば
わかりますね。

よって、(x~2)(y~2) = -(x~2)(y~2) ですから、
両者を区別する必要はないのです。

お礼

>>(x~2)(y~2) = -(x~2)(y~2) ですから、
>>両者を区別する必要はないのです。

そういうことだったんですか！
回答ありがとうございました。

回答No.1

Trick--o--

x*y=-y*xであるとき
xとyが積*について可換ではない。
故に、(x*y)^2=(x^2)*(y^2) が成り立つとは限らない。
（成り立たなくても不思議じゃない）

補足

その論理は疑問です。

確かに「rを任意の有理数とするとき、xとyの積が非可換のならば、
有理数rについて(x*y)r=(x^r)*(y^r)
が成り立つ」とは限らないのですが、
特別な場合として、r=2で、さらに、xとyの積が非可換である
ということをもっと限定して、x*y=-y*xという関係があるなら
確実に成り立つかどうかをきちんと調べたいわけです。

つまり、「r=2でx*y=-y*xのときは成り立ち、それ以外の
場合は成り立つとは限らない」⇒
「rを任意の有理数とするとき、xとyの積が非可換のならば、
有理数rについて(x*y)r=(x^r)*(y^r)が成り立つとは限らない」
という論理が成立するので、r=2でx*y=-y*xのときは成り立つ
かどうか調べる余地があると思うのです。