和が一定のときの積の値の変化について

質問

和x+yが一定の時、積xyは恒等式xy=1/4((x+y)^2-(x-y)^2)よりxとyの値の差が小さいほど大きいことがわかりますが、これをnこの文字に拡張しても、同じ結果になりそうな気がするのですが、このことの証明を教えて下さい。なるべくなら積の最大がnこの値が等しいときというだけでなく、その途中のnこの文字のそれぞれの差が小さくなるにつれて積が大きくなっていくことがわかるような証明がいいです。(2このときの証明で2つの値の差が小さくなると積が大きくなって行くことがわかるように)

回答No.2

info22

全ての変数が正のとき、変数がn個の時の
相乗平均≦相加平均
[n]√(xy…z)≦(x+y+…+z)/n
の関係を使えば全ての変数が等しいとき積の最大値は
(x+y+…+z)=S(一定)とおくと
xy…z≦(S/n)^n
等号はx=y=…=z=A/nのときで積の最大値は(S/n)^n
となりますね。

証明は相乗平均≦相加平均の関係を使って証明すれば良いですね。
相乗平均≦相加平均の証明は以下の参考URLを見てください。

相乗平均≦相加平均の証明の参考URL
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/diff2/appendices/mean.htm
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/jensen.htm
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1414460629?fr=rcmd_chie_detail

回答No.1

at9_am

残り全部が一定として考えれば、n 個の実数 x_1 ... x_n について
x_1 - x_2 の差が大きければ x_1 × x_2 が大きくなることが言えます。
三つ以上になっても、(x1 + x_2) - x_3 が小さければ小さいほど x_1 x_2 x_3 の値は大きくなることが分かります。

n 個の数の和は一定(k とおきます)ですので、必ず
k = x_i + Σ_{j≠i} x_i
が成り立つので、少なくとも一組の和が一定になる二つの実数の組について成立するはずです。残りの(n-1)個の実数についても、2個になるまで同様に繰り返すことが可能です。

ところで、以上の証明は一つの数と他の数の合計、という形で差を定義しています。これを任意の二つの数の差という形にしてしまうと、問題が発生します。
例えば3つの数を考えます。
1）2,3,4を考えると、和は9、差は1(=3-2),1(=4-3),2(=4-2)で、積は24になります。
2）1,3,5を考えると、和は9、差は2(=3-1),2(=5-3),4(=5-1)で、積は15になります。
3）1,1,7を考えると、和は9、差は0(=1-1),0(=1-1),6(=7-1)で、積は7になります。
以上の3つのケースのどれが差が小さいかをどのような指標で表すべきかを考えるべきです。おそらく二乗和の正の平方根になるのではないかと思いますが、それならば統計学の分散の項を見れば載っていると思います。