にゃんこ先生の自作問題、光がn枚のガラスの間を反射・通過を繰り返し、結局は外から内に入ってくる総量

質問

にゃんこ先生といいます。

一枚のガラスがあり、外から分量1だけの光が当たるとします。
そのとき、ガラスが光を反射する確率がp、通過する確率がq（ただし、p+q=1）であったとします。

また、少し隙間のある二枚のガラスがあり、外から分量1だけの光が当たるとします。
すると、一枚目でpだけ反射し外に出て行き、qだけ通過します。
次に、通過した分量qの光が二枚目のガラスでpqだけ反射し、q^2だけ通過して内に入ってきます。
さらに、分量pqの光は一枚目のガラスに当たり、p^2qだけ反射し、pq^2だけ通過して外に出て行きます。
分量p^2qの光は二枚目のガラスに当たり、p^3qだけ反射し、p^2q^2だけ通過して内に入ってきます。
そのように考えていくと、外に出て行く光の合計は、p+pq^2+p^3q^2+p^5q^2+…=p+(pq^2)/(1-p^2)=2p/(1+p)。
内に入ってくる光の合計は、q^2+p^2q^2+p^4q^2+…=(q^2)/(1-p^2)=q/(1+p)。

今度は、少し隙間のあるn枚のガラスがあり、外から分量1だけの光が当たるとします。
反射・通過を繰り返し、最終的に外に出て行く光の合計、最終的に内に入ってくる光の合計はそれぞれどうなるのでしょうか？

推移や分岐のパターンがたいへん複雑で、なにか数学の道具が必要な気がします。
自作問題ですが、オーソドックスなので、すでに研究結果があるような気がします。
なので、その道具や研究結果を具体的にご存知の方は教えていただけないでしょうか。

回答No.5

hiccup

光の一筋を追いかけるではなく、ガラス間の同一方向の光をまとめてひとつにしたものを扱うとなんとかなります。以下、高校３年生程度の知識でやりますが、なかなかおもしろいことが起きました。

k 番目のガラスから k+1 番目のガラスに向かう光の総量を a(k) 、その間の逆向きの光の総量を b(k) とします。ここで、a(0) = 1 、b(n) = 0 です。すると

a(k) = p b(k) + q a(k-1)
b(k) = p a(k) + q b(k+1)

これから、列ベクトル t( a(k) b(k) ) の漸化式がつくれます。その行列は

(q-p)/q　p/q
-p/q　1/q

です。これを M とすると、漸化式は X(k) = M X(k-1) の形です。
おもしろいことに、tr M = 2 、det M = 1 と定数になります。
最小多項式が t^2 - 2t + 1 です。
よって
M^n = n (M - E) + E
となり

a(n) = (1/q)( q - np + np b(0) )
b(n) = (1/q){ -np + (q + np) b(0) }

b(n) = 0 だから b(0) = np/(q+np) 、よって a(n) = q/(q+np) となりました。

反射　np/(q+np)
透過　q/(q+np)

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おもしろかったです。最小多項式が気になります。
万が一、先の回答者さんとかぶっていたらごめんなさい。