ルンゲクッタ法について

質問

初期値問題
d^2y/dx^2=dy/dx-(dy/dx)^2 (0<x<5) , y(0)=1+log(3/2) , y'(0)=1/3
を１階連立系に直し、コンピュータを用いて古典的ルンゲ・クッタ公式によって数値解を求め、真の解と比較せよ。但し、ステップ幅hは1/4 , 1/8 ,...のように二通り以上とることとし、数値解の誤差の振る舞いを吟味せよ。ルンゲ・クッタ公式のプログラムも添付し出来れば解の様子をx‐y平面に図示すること。
という問題があるのですが、全然手がつきません。誰か数学の偉い方、ご指導お願いします。お礼もいたします。

回答No.3

Tacosan

えぇと, 「古典的ルンゲクッタ法」は調べましたか?
ちなみに y に任意定数は残りません.

補足

調べましたけどプログラムの組み方がいまいち良くわかりません。
ちなみにyに任意定数が残らないとおっしゃっていましたがどういう答えになります？

回答No.2

yasei

とりあえず
丸投げするな
としか。

期末レポートとかそんなのでしょう？
「こんな感じだと思ったけど動かなかった」ならわかるけど、「わからないので誰かやって」なんてので単位を取ろうとしないで下さい。

補足

回答ありがとうございます。
確かに期末レポートです。
一応、丸投げはせず自分である程度アプローチをかけました。

それは、先ずz=dy/dxと置き与式を以下のように変形しました。
　　　dz/dx=z-z^2
そして、変数分離型の形に帰着させ一般解を求めました。
途中の変形が合っているかどうか自信はないのですが、一般解として
　　　y=x-log｜1-Ae^x｜(AはA=e^cなる定数)を導出しました。

そして、ここから何をどう手をつければ良いか分からなくなってしまったというのが現状です。

回答No.1

Tacosan

えぇと, やることって
1. 与えられた微分方程式を 1階連立系に直す
2.ルンゲクッタ法でそれを解く
3. 真の解と比較する
だよね. どれか 1つくらいは手がつかないかなぁ. 2 はともかく, 1 とか 3 (のうち真の解を求める部分) はできていいと思うんだけど....
とりあえず 1 は「1階連立系」に直すってことだから, 2階の微分をなんとかして 1階に落とさなきゃならない. つまり, 「1階微分を新たに変数としておく」ことになるんだけど, それは理解できていますか?

補足

丁寧な説明ありがとうございます。
1は一応自分なりに解きました。
それは、先ずz=dy/dxと置き与式を以下のように変形しました。
　　　dz/dx=z-z^2
そして、変数分離型の形に帰着させ一般解を求めました。
途中の変形が合っているかどうか自信はないのですが、一般解として
　　　y=x-log｜1-Ae^x｜(AはA=e^cなる定数)を導出しました。
そして、ここから何をどう手をつければ良いか分からなくなってしまったというのが現状です。