線積分の初歩的な質問です

質問

曲線Cの方程式をy=2x (0<x<1)とするとき、次の値を求めよ。ただしＣの向きはＸが増加する方向。
という問題があります。解答を頂いたのですが
∫c (x+y)dx　=∫[1→0]3x dx =2/3
になるのですが、∫[1→0]3x dx　にする方法がよくわかりません。
どなたか教えて頂けないでしょうか。

回答No.1

noname#101199 · ベストアンサー

普通にy=2xを代入して、x+y=3xが出てきます。
積分範囲はxの範囲から出てきます。（dxで積分していくので（xで積分するので））

xで積分してるので、パラメータを介すまでもない問題ですね。
もうちょっと真面目に考えると、
積分経路はr(t)=[t,2t] (0<t<1)とおけます。（y=2xが経路なので）
x(t)=t,y(t)=2tです。
ゆえにdx=dtです。
また、被積分関数はx+y=t+2t=3tですね。

∫_c (x+y)dx
=∫[0→1](t+2t)・１・dt
=∫[0→1]3t・dt
=3/2

お礼

助かりました。ありがとうございました！