グリーンの公式を利用して次の線積分を求めよ。ただし

質問

グリーンの公式を利用して次の線積分を求めよ。ただし、曲線の向きはその曲線で囲まれた領域を左に見るものとする。

∮[C](x+e^xsiny)dy-(x+e^xcosy)dx
C:r^2=sin2θ 0<=θ<=π/2
この解き方がわかりません。教えていただきたいです。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

S=∮[C](x+(e^x)siny)dy-(x+(e^x)cosy)dx
グリーンの公式で P=-(x+(e^x)cosy), Q=x+(e^x)siny,
=∬[D] {1+(e^x)siny -(e^x)siny} dxdy
=∬[D] 1 dxdy
C:r^2=sin(2θ) (0<=θ<=π/2)
r^4=2rcosθ*rsin.θ
(x^2+y^2)^2=2xy (0<=x, 0<=y)

S=∬[D] r drdθ= ∫[0,Pi/2] dθ ∫[0, Sqrt(sin(2θ))] r dr
=∫[0,Pi/2] {[r^2/2][0, Sqrt(sin(2θ))]} dθ=(1/2) ∫[0,Pi/2] sin(2θ) dθ
=(1/4) [-cos(2θ)][0,Pi/2]
=(1+1)/4
=1/2 ... (Ans.)

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