解析の問題

質問

√(in^(in))のｎに実数を入れて、その値を求める問題なのですが、わかりません。（i^2=-1)。式変形をして、exp{(in*log(in))/2}にして、オイラーの公式を使おうと思ったのですが、オイラーの公式のθは虚数でも大丈夫なのでしょうか。つまり、θ=n/2*log(in)ということです。どうか教えて下さい。それ以外の部分で問題があればそれも教えてくれると嬉しいです。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

オイラーの公式のθは複素数を入れても成り立ちます。

問題は
√{(in)^(in)}で正しいですか?それとも√{i(n^(in))}ですか。
前者であればexp{(in*log(in))/2}として計算できます。
ただ、これだとlogの中にiが入りこれを出す必要があります。
√{(in)^(in)}=(in)^(in/2)
=(i^i)^(n/2)*(n^i)^(n/2)
=[{(e^(πi/2)}^i]^(n/2)*[{e^(logn)}^i]^(n/2)
={e^(-π/2)}^(n/2)*[e^{(n/2)*(logn)*i}]

とでも変形するのでしょうか。

回答No.2

noname#101087

(in)^{(in)/2} = exp{(in*Ln(in))/2} を勘定するには、
　　Ln(in) = Ln(|n|) + i*(π/2)
を使うのでしょうね。(主値)
まず、
　　in*Ln(in)/2 = in*{Ln(|n|) + i*(π/2)} = -(nπ/2) + in*Ln(|n|)
これを exp{(in*Ln(in))/2} へ代入。
　　exp{-(nπ/2) + in*Ln(|n|)} = exp(-nπ/2) * exp{in*Ln(|n|)}