log(-1)=?

質問

log1=0です。底はネイピア数とします。変形して、log1=log(-1)^2=2log(-1)=0
よって、log(-1)=0となっても良さそうです。
でも、オイラーの定理よりe^πi=cosπ+isinπ=-1より、log(-1)=πi+2πn
となります。最初の式のどこに問題があるのでしょうか？

回答No.6

noname#195146 · ベストアンサー

底がeの対数log(x)は、指数関数e^xの逆関数として定義されています（eは1以外のどんな実数でもいいのですが、記号だけの問題ともいえるので、とりあえずeにしておきます）。

　まず、実数の範囲で考えてみます。

　y=e^xであるなら、x=log(y)なわけですが、log(-1)を考えるなら、-1=e^xとなるxは何かになります。実数で考えるなら、e^x>0ですから、解としてありません。

　さらに、1=e^xはx=0で成り立ちます。では、両辺を2乗してみます。1^2=e^(2x)、ここまではいいでしょう。

　1^2=(-1)^2から、(-1)^2=e^(2x)としても問題ありません。

　では、その両辺のルートを『単純に』取ってみましょう。-1=e^xが成り立つことになります。これを満たす実数xはないのでした。さらに、そもそもx=0だったのでした。

　これでは矛盾です。数学として成り立ちません。ならば、導出に問題があるはずです。

　実数を2乗してルートを取ったとき、正負の両方が許される保証はあったでしょうか。ない例はすぐに思いつきます。

　1=1, (-1)^2=1 ∴(-1)^2=1, しかし√{(-1)^2}=-1でもよいとすると、1=-1となり矛盾するから、√{(-1)^2}≠-1でなければならない。

　ルート内に負数を許すのではなく、√(-1)のようなものを数として扱えるために、それをiと書いて虚数を実数bを使ってbiとすることにし（b>0なら√(-b）のようなものを扱うための虚数）、実数aと併せて複素数をa+biとしたのでした。

　お示しの式変形の中では「log(-1)^2=2log(-1)」が、そう拡張していいかどうかを検討せずに使っています。2乗してルートを取ったときと、同様であるわけですね。

　そこが間違いで、そうするためには、対数関数（ひいては指数関数）の計算規則を正しく拡張しておかなければならなかったわけです（その正しい結果の一つが、言及されておられるオイラーの定理）。

お礼

素人にも理解できる説明で、本当にありがとうございました。

回答No.7

178-tall

夕暮れの寝言を訂正。

>　LN(1) = LN{ (-1)^2} = 2*LN(-1) = 2*LN{e^(iπ) } = i2π
>　LN{e^(iπ) } = iπ
>なのでしょうネ。

　LN(1) = LN{ (-1)^2} = 2*LN(-1) = 2*LN{e^(iπ) } = i2π≡0 (mod 2π)

　LN{e^(iπ) } = iπ

回答No.5

178-tall

< ANo.3
　↓
>補足　複素数まで、範囲を拡大しての質問です。
　　　↓
…だとすれば、

　LN(1) = LN{ (-1)^2} = 2*LN(-1) = 2*LN{e^(iπ) } = i2π
　LN{e^(iπ) } = iπ

なのでしょうネ。

回答No.4

Tacosan

定義域を (0 でない) 複素数に拡張すること自体は構わないんだけど, 値域はどう設定しますか?

log の逆関数である指数関数 exp が周期 2iπ の周期関数であることは認識できていますよね?

補足

数学はトーシローなので、あまりよく理解できてないので、今回ふと疑問に思ってしまいました。周期はオイラーの定理を見れば、2πらしく思える程度です。
基本が、分かってませんので、分かりやすく解説していただけないでしょうか？

回答No.3

rinkun

一般に log(a^b)=b log(a) はaが正の数でないと成り立ちません。
従って log(-1)^2=2log(-1)が間違いですね。

お礼

log(a^b)=blog(a)は、aが正の実数のみ偶然成立すると言うことなんですか？
何となく分かってきました。ありがとうございます。

補足

複素数まで、範囲を拡大しての質問です。宜しく願います。

回答No.2

bgm38489

ｘ＝１とすると、
ｘ＾２＝１
ｘ=-1のときもｘ＾2=1であるから、ｘは‐1に変身してもよさそうなものです。

といっているのと同じことですね。

補足

z=x+iy=re^iθで、x=-1,y=0,r=1,θ=πの時、
log(-1)=log(e^iπ)=iπと言うオイラーの定理は、何となく分かります。
ただ、log(-1)^2≠2log(-1)にならない理屈（屁理屈？）が、自分には理解できないのです。

回答No.1

info22_

>最初の式のどこに問題があるのでしょうか？

0=log1=log(-1)^2≠2log(-1)≠0

補足

logz=log|z|+arczと言う事は聞いた事があります。
でも、何故log(-1)^2≠2log(-1)何ですか？
絶対値が必要なんでしょうか？