ヤング率

質問

フックの法則Ｆ＝ｋΔＬにおける伸びΔＬと外力Ｆの比例定数ｋを、ヤング率Ｅを用いて表してください。お願いします。

回答No.2

noname#252183

#1 アフリカ野犬のリカオン Lycaon です。
猫足（サーバル）、じゃない、蛇足を追加します。

次元が違う物理量同士の換算はできません。
#1 の回答中、棒の太さや長さを含む式を使って”換算”すれば、「ヤング率」から「ばね定数」へ、あるいはその逆へ、”換算”できるじゃないか、と言われそうですが、
計算はできますが、”換算”はできません。

この操作を「換算」と称して認めたら、理想気体では状態方程式を使って１気圧を温度に換算したり、１リットルを圧力に換算したりできることになります。

で、この操作は単に「棒の太さや長さを含む方程式を立て、計算する」と称し、「換算する」とは言いません。

回答No.1

noname#252183

■ヤング率
σ＝Ｅ・ε・・・(1)

σ(Pa)：引張または圧縮応力（圧力の単位)
ε(-)：ひずみ（＝ΔL/L）
Ｅ(Pa)：ヤング率（縦弾性係数）

■フックの法則
Ｆ＝ｋ・ｘ・・・（2）

Ｆ(N)：力
ｘ(m)：伸びまたは縮み長さ
ｋ(N/m)：ばね定数

□換算
ヤング率とばね定数の相互換算は、できません。
ヤング率は材料の物性値で、物質により値が決まります。

例：（　http://www.madlabo.com/mad/edat/principle/phismech.htm　より）
・ゴム(弾性ゴム) (1.5-5.0)×10^6 Pa
・アルミニウム 7.03×10^10 Pa
・鋳鉄 15.23×10^10 Pa
・タングステンカーバイド 53.44×10^10 Pa

一方フックの法則はばねの長さだけが問題で断面積の方は不問、同じ材質でも個々のばねに固有の定数になります。

□理屈
いま、長さが同じで断面積が １：２：４ の３本の円柱（針金）を、同じ材質（鉄でもアルミでも何でもよい）で作ったとします。
これら３本の円柱の両端を、同じ大きさの（例えば 100Nの）力で引っ張ったとします。
引張応力の大きさは（力が同じなら断面積に逆比例するので）順に４：２：１になります。

材質が同じなので、ヤング率はすべて同じ。
しかし引張応力が違うので、例えば ４mm、２mm、１mm というように、伸びが変わります。
（元の長さＬが同じだから、(1)式より伸びの絶対値ΔＬは、掛けた応力に比例します。）

さて、各々の円柱をばねと見立てて、これをフックの法則で見ます。
（2）式により、今の場合は３本ともＦが同じです。
一方この材質の現実の伸びｘは、ヤング率という物性値が支配しており、４mm、２mm、１mm と違います。
従って ばね定数ｋは、１：２：４ のように３本が異なる値を採ります。

フックの法則のばね定数は、材質が同じでも元の長さ・太さ等によって１本１本で違う値を持ち得るので、材質が決まれば寸法によらず決定してしまうヤング率に換算することは、不可能です。

お礼

サンキュー