供給曲線と生産者余剰の導出について

質問

2点質問があります。

(1)企業の行動は利潤最大化であり、
max π=px-(wL+rK)
s.t. x=f(L,K)
の解で求められると思いますが、コストは wL+rK の部分なのに計算すると p=c'(x) とxの関数になるのはなぜでしょうか。

(2) p=c'(x) は MC であり AVC より生産量の多い状況で供給曲線になりますが、生産者余剰を求めるとき c'(x) は逆供給関数であるので、「便益」という曖昧な考え方から「利潤最大化」の考え方にシフトすることができると思います。
　すると c'(x) は供給関数であり、逆供給関数でもあるということでしょうか。関数と逆関数が同じである、ということに違和感があります。解釈が間違っているのでしょうか。

長文となり申し訳ありません。何か理解しづらい文がありましても教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

azukid · ベストアンサー

(1)
生産関数と要素費用関数から導かれる利潤最大化条件は
要素価格比(w/p)が限界生産物(MPL)に等しいというものです。
max π=px-(wL+rK)
s.t. x=f(L,K)
のケースでは、pMPL=w,pMPK=rという条件になります。
生産関数については
dx=(Δx/ΔL)*dL+(Δx/ΔK)*dK
dx=MPL*dL+MPK*dK
要素費用関数については
dTC=(ΔTC/ΔL)*dL+(ΔTC/ΔK)*dK
dTC=w*dL+r*dK
ここで利潤最大化していれば
dTC=pMPL*dL+pMPK*dK
dTC=p(MPL*dL+MPK*dK)
dTC=p*dx
p=dTC/dx=c'(x)=MC
これで、費用関数による利潤最大化条件p=MCのできあがりです。
このとき、供給関数は見かけ上x=f(p)になります。
でもちゃんと書いたらx=f(p,w,r)です。

(2)
私は数学の基本がないので、供給関数と逆供給関数の違和感はよくわからないんですが、とりあえず生産者余剰とは「利潤＋固定費用」のことです。
書くとすれば生産者余剰＝{インテグラルp0-p}x(p,w0,r0)dp
p0は短期平均可変費用の最低点,pは今の価格,w0,r0は定数の意,
x(p,w0,r0)は供給関数
{ }はインテグラル記号でp0からpの意味。
これでは解決しないかもしれませんが、ご参考まで。

お礼

ありがとうございます。つまり供給関数はp,w,rの関数ですが、短期ではw,rの変化がごく微量なため、定数とした供給関数になるということですね。理解することができました。