線形代数の問題について

質問

つぎの等式を証明してください。det(E-cd)=1-bc
ただし、Ｅは単位行列、ｂは行ベクトル、ｃは列ベクトルとする。
という問題です。ご教授願えれば幸いです。

回答No.4

noname#101087 · ベストアンサー

訂正。列と行とが逆でした。

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　det(E-cb)=1-bc
　b = [b1　b2]
　c = [c1　c2]~　　~ は行列転置
だとして。

　E-cb
= |1-c1b1　-c1b2|
　 |-c2b1　 1-c2b2|

　det(E-cb) = (1-c1b1)(1-c2b2) - b1b2c1c2
　　　　　　　= 1-c1b1-c2b2
　　　　　　　= 1-bc　// Q.E.D.

回答No.3

noname#101087

det(E-cb)=1-bc
　c = [c1　c2]
　b = [b1　b2]~　　~ は行列転置
だとして。

　E-cb
= |1-c1b1　-c2b1|
　 |-c1b2　 1-c2b2|

　det(E-cb) = (1-c1b1)(1-c2b2) - c1c2b1b2
　　　　　　　= 1-c1b1-c2b2
　　　　　　　= 1-bc　// Q.E.D.

回答No.2

PRFRD

別解．
A = |E b|
　　|c 1|
という (n+1)×(n+1) 行列の det を２通りに求める．

列基本変形すると
　|E-cb b|
　|　0　1|
となるので det A = det(E-cd)
一方，行基本変形すると
　|E 　0 |
　|c 1-bc|
となって det A = 1-bc

回答No.1

Tacosan

E-cd は E-cb の間違いだよね?
x を b に直交するベクトルとすると (E - cb)x = x.
一方 (E - cb)b^t = b^t - c||b||^2 = kb^t + x (x は b に直交するベクトル) とおくと
b(b^ - c||b||^2) = (1 - bc)||b||^2 = k||b||^2より k = 1 - bc.
従って det(E-cb) = 1 - bc.

補足

申し訳ありません。仰るとおりＥ-cbの間違いです。こちらの不手際すいませんでした。