古典力学における運動量保存について

質問

お尋ねします。
古典力学（質点・剛体・流体の運動）の範囲でのことですが、
１．質量保存
２．運動量保存
３．運動エネルギー保存
の3つの保存が考え方としてあると思います。１については、ほぼどのような場合でも成立するわけですね。２，３について考えます。
エネルギー保存が成り立たなくても、運動量保存が成立する、という問題はよく見かけます。バットとボールの衝突などは運動エネルギー損失があっても運動量が保存されるとして理論展開をします。ではエネルギー保存が成立するけれども運動量が保存されないという場合はあるでしょうか。無い様に思います。ということはベン図で書くと、運動量保存の集合（マル）の中に運動エネルギー保存の集合（マル）が書かれることになりますが、それでいいのでしょうか。
　もし、それが成立するならば、運動エネルギーが保存されるならば、必ず運動量が保存されるということですからそのことが数学的に証明されなければならないのではないでしょうか。
　また、古典力学の範囲において運動量が保存されない、というのはどのような状態でしょうか。実例などがあれば教えて頂きたいのですが。
よろしくお願いします。

回答No.2

g-space

基本的なこととして、保存則では「閉じた系」を考えています。まずこれを押さえておいてください。ご質問を見ると、このことがおわかりになっていないように思われます。
　閉じた力学系で成り立つ保存則は、
　　１．質量保存則
　　２．運動量保存則
　　３．角運動量保存則
　　４．力学的エネルギー保存則
で、１と４はスカラー量、２と３はベクトル量です。ベクトル量を成分表示するならば、式としては８本（独立）になります。

　以上を前置きとします。

＞　３．運動エネルギー保存
　このような保存則はありません。古典力学においては「力学的エネルギー保存」です。

＞　エネルギー保存が成り立たなくても、運動量保存が成立する、という問題はよく見かけます。バットとボールの衝突などは運動エネルギー損失があっても運動量が保存されるとして理論展開をします。

　ここでいう「エネルギー保存」は「力学的エネルギー保存」ですね。力学的エネルギーの損失はあっても、「全エネルギー」は保存されます。バットとボールの衝突のような現象の場合は、内部運動のエネルギー（熱エネルギー）まで考えればエネルギー保存則が成立します。

　エネルギー（全エネルギー）の保存も、運動量の保存も、系が閉じている限り必ず成り立ちます。また、エネルギーはスカラー量、運動量はベクトル量であることだけでも、物理的に全く異なる量ですから、集合というくくりでどちらかがどちらかに含まれるとか重なるとか、いかなる考え方をしても的外れです。

　最後に、運動量が保存されない場合は、系が閉じていない場合です。

お礼

回答有難うございます。ご指摘の通りです。熱エネルギーへの変換は全く考慮しておりません。ずっとラフな議論です。しかしそのレベルで答えを定めることはできるものです。（冒頭、古典力学と書いておりますが、いわゆる力学の教科書がそうであるように熱力学、統計力学は含まないというのが質問の前提です。当然量子力学も。）
ｘ方向へ移動している２つの玉という問題ではどうなるでしょうか。１次元なのでベクトルとスカラーの区別がありません。（反対向きのベクトルは負ですが、スカラーも負がありうるとして。）
流体力学でもベルヌイの定理（エネルギー保存）云々のような取り扱いをすることがあります。
そのようなレベルでの運動量保存、（力学的）エネルギー保存、質量保存での問題です。ここまで来ますと、力学的エネルギー保存と運動量保存は大変似た式となります。何らかの関係はあるように思うのです。もともと運動方程式（≒運動量方程式）という１つの式から運動量保存・エネルギー保存が誘導されるものではないでしょうか。私はそこの交通整理ができておりません。こういうときはこの式を使うという風な理解しかありません。そこをお尋ねしているということです。