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熱効率が最大であることの証明について
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非可逆サイクルの機関が高温部からQ1の熱量を受け取り低温部にQ2の熱を廃棄して、Wの仕事を取り出すことを考える。 熱力学第一法則から W=Q1-Q2 (1) となり、この熱機関の熱効率は W/Q1=(Q1-Q2)/Q1 (2) と表すことができる。 可逆サイクルの機関が高温部からQ3の熱量を受け取り低温部にQ4の熱を廃棄して、Wの仕事を取り出すことを考える。 熱力学第一法則から W=Q3-Q4 (3) となり、この熱機関の熱効率は W/Q3=(Q3-Q4)/Q3 (4) と表すことができる。 非可逆サイクルの機関の熱効率が可逆サイクル機関の熱効率よりもよいと仮定すると(2),(4)から W/Q1>W/Q3→Q1<Q3 (5) (1),(2)から Q1=W+Q2<W+Q4=Q3→Q2<Q4 (6) この二つの熱機関を連結し、非可逆サイクルの機関で得た仕事で可逆サイクルを動かすことを考える。 すると、 高温部奪われた熱量=Q1-Q3<0 低温部に与えられた熱量=Q2-Q4<0 熱機関で行われた仕事=W-W=0 となります。 これは仕事を与えていないにもかかわらず低温部から高温部へ熱が移動したことになります。 これは熱力学第二法則に矛盾している。
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以下の質問に答えてくだされば幸いです。 ・カルノーサイクルに対する理解 カルノーサイクルとは事実上熱をやり取りする熱源が2つの場合のサイクルの1つ。 熱効率を無駄に下げないためには不可逆変化があってはならない。 そこで，作動流体と熱源は接しているときは同じ温度でなければならない(温度差があれば不可逆変化となってしまうから)。 つまり，接しているときは等温変化のみが許される。 しかしそれだけでは双曲線を描くだけでサイクルにはならない。 もう1つの熱源を利用したいがそのままでは温度差があるのでだめ。 そのためには作動流体の温度を第2の熱源の温度まで変化させなければならない。 温度を変化させるのだから熱源と熱のやり取りは出来ない(温度差によって不可逆過程となる)。 それ以外の熱源とは熱のやり取りをしてはいけないので，断熱変化しかない。 断熱変化で第2の熱源温度まで変えてやり，そうなれば第2の熱源と接させて等温変化。 以下，同じ理屈によりサイクルが完成する。 不可逆過程はなかったので最大熱効率が実現されている。 質問１．不可逆過程があれば熱効率が無駄に落ちるという事実(エントロピー生成)を使っていますが(理論あるいは歴史的には逆なのかもしれませんが(？))，それを既知とすればカルノーサイクルに対する理解はこれであっていますか。 ・準静的過程と可逆過程について 次のようなサイクルを考えます。 サイクルCと名づけます。 状態1 p＝√(RT0) v＝√(RT0) 状態2 p＝2√(RT0) v＝√(RT0) 状態3 p＝2√(RT0) v＝2√(RT0) 状態4 p＝√(RT0) v＝2√(RT0) 状態1→2：定積変化 状態2→3：定圧変化 状態3→4：定積変化 状態4→1：定圧変化 先ほど最大熱効率を目指せば，2熱源では等温変化と断熱変化しかできませんでした。そこでサイクルCを多数のカルノーサイクルによって分割して考えます。そのためにサイクルCを描いたpv平面に等温線と断熱線を多数描き，多くのカルノーサイクルを描きます。分割後，隣り合っているカルノーサイクルの共通曲線部は可逆だったので打ち消しあうので(向きが逆なので)，サイクルCはカルノーサイクルで近似出来ます． 質問２．以上よりサイクルCは可逆過程で，最大熱効率であると考えてもいいですか。 質問３．熱効率の計算の仕方についてです。多数のカルノーサイクルによる近似を用いるので，もちろん各カルノーサイクルに固有の熱源温度TH，TLがあると思います。そのうちそれぞれの高温熱源TH1，TH2，…，TH∞から得た熱量がQH1，…，QH∞となり，それらの総和が熱効率の分母となり，分子は外部にする正味の仕事(サイクルCに囲まれる面積)RT0ということでよろしいでしょうか。 質問４．実際に熱効率を計算する場合は，熱を得るのは状態1→2，2→3の過程なのでそこで得た熱量を分母として計算するのでしょうか。得た熱量は実際には， 過程1→2でcv(T2-T1) 過程2→3でcv(T3-T2)＋2RT0 となります(理想気体)。 サイクルCの最高温度はT3，最低温度はT1(＝T0)ですが，質問4の方法で計算すると，理論最大熱効率である1-T1/T3となりません。 質問５．そこで最後の質問なのですが，サイクルのpv曲線は無限に描けます。しかし曲線によっては熱源の数が2だったり100だったり無限大だったりします。2熱源の場合の理論最大熱効率は1-TL/THですが，サイクルCでは上述のとおり質問4の方法で計算してもそれと一致しません。熱源の数によって最大熱効率は違うのでしょうか(おそらく質問3の方法だと一致するはずですが)。
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図のような可逆サイクルを冷凍機として用いるとする(高温熱源の温度は変化している) (1)高温熱源に伝えられる熱量QHを図中の温度とエントロピーを用いて表せ (2)低温熱源から奪われる熱量QLを図中の温度とエントロピーを用いて表せ (3)この冷凍機の成績係数εを図中の温度とエントロピーを用いて表せ (4)逆カルノーサイクル(低温熱源の温度はT1)による冷凍機の成績係数が(3)で求めた成績係数と等しい場合この逆カルノーサイクルの高温熱源の温度xはいくらか？ 最初の問題でつまずいています。どなたか教えてくださると助かります。
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お礼
とても丁寧な回答をありがとうございました。 さっそくしっかり考えて勉強しようと思います！ また何かありましたらよろしくお願いします。