re：5374013 サイクルの最大効率と異なるサイクルの効率の比較について

質問

質問番号：5374013
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5374013.html

に関して解答を書いている間に締め切られてしまいましたので、あらたに質問として起こします。

熱力学でサイクルの効率を考えるとき、熱効率は

η＝W/Q1　（Q1：吸熱）

で定義されます。ここでエネルギーの保存則

W = Q2 - Q1　（Q2：放熱　Q1：吸熱）

を使うと熱効率は

η＝W/Q1＝1-Q2/Q1

と書くことができます。

ここで、このエネルギー保存の式がサイクルの可逆不可逆によらず成立しているとしてしまうと、不可逆のカルノーサイクルの効率も最大効率になってしまいます。わかりやすく、不可逆が断熱過程にあるとして等温過程を可逆とするとQ1, Q2は全体が可逆なカルノーサイクルと正確に等しいですから。したがって、このエネルギー保存の式は不可逆過程では成り立たず、散逸するエネルギーをδＱとして

Q1-Q2 = W + δQ > W

と修正する必要があります。

不可逆過程が存在する場合、サイクルが完全に元に戻っているとすると、外部のどこかにエントロピー生成があるはずです。不可逆過程では熱源も外部も含めた全体を一つの孤立系として、全体のエントロピーが増大しないといけませんから。したがって、このエントロピー生成によって生じた束縛エネルギーがδＱに対応するはずです。

前置きはこのくらいにして、本題に入ることにします。

少し考えてみるとカルノーサイクルとほかのサイクル、たとえば、オットーサイクルの効率を比較するというのは結構厄介な問題だということに気がつきます。

可逆カルノーのサイクルに限っても、T1=500Kに固定したとしてT2=400KとT2=100KではT2=100Kの方が効率がいいですが、どちらも熱力学的な意味では最大効率です。

オットーサイクルにしても、四つの温度をどう設定するかで効率の値は変わってきますが、全過程が可逆であればそれは値の大小によらず全て熱力学的な意味では最大効率です。

なので、可逆サイクルであっても条件の設定によって最大効率のときの効率の値は変わってしまいますから、異なるサイクルの効率を比較する場合、条件を対等にして比較しないと意味がないことになります。そこで、この対等な条件という物を模索しないといけないのですが、これがどうにもわからないのです。結局考えてみても、Q1, Q2の値が等しいという条件で外に取り出せるWの大小を比較するしかないように思うのですが、そうすると、可逆サイクルではW=Q1-Q2が成り立つので、可逆であればすべてのサイクルの効率は等しいという結論になってしまいます。

よくみるカルノーサイクルとオットーサイクルの効率の比較では、オットーサイクルの最高温度、最低温度をカルノーサイクルの熱源の温度に等しく置いています。こうすると、オットーサイクルのＴＳ線図がカルノーサイクルのＴＳ線図の中にすっぽり入ってしまうのでオットーサイクルのほうが効率が低いことになるのですが、これは、

「オットーサイクルの最高温度、最低温度をカルノーサイクルの熱源の温度に等しく置く」

という新たな条件を付加したうえでの比較なので、熱力学的な最大効率とは無関係と思われます。

以上を踏まえまして、異なるサイクル間の熱力学的な意味での効率の比較について、ご意見を賜りたいと思います。

回答No.3

tareo · ベストアンサー

>それというのはW/Q1でしょうか？
>当然効率の比較とはこれ(W/Q1)を比較するのですが、可逆サイクル同士の
>比較であっても、その比較の仕方が問題であるということなのですが。

効率を比で表すのは、何と言うか個々のサイクルの効率の算出に用いた数値などの違いを隠してくれるのではないかと思っただけなのです。その意味で、例えば高熱源の温度とか低熱源の温度に縛られない公平な比較の方法ではないかと思ったのです。

＞普通、オットーサイクルよりもカルノーサイクルのほうが効率が高いと
＞言いますが、これはそのような比較の仕方を選択している（ＴＳ線図が
＞外接するようにカルノーサイクルをとる）だけの話で、熱力学のいう最
＞大効率とは関係ない話ではないか？というところはどうですか？

カルノーサイクルの効率が最大であるという証明は、いわゆる背理法を用いたものなので、他のサイクルの種類や、熱源の温度などには依存しないはずです。つまり、もし、カルノーサイクルの効率が最高でないと仮定すると矛盾が導かれるのです。この結果は動作流体などには依存しません。ただし、以前のどなたかの指摘通り、熱源が二つ必要なサイクルに限られます。
　実際、オットーサイクルなどは、動作流体によって効率が変化するのです。また、スターリング・サイクルと呼ばれるサイクルは２本の等容変化と、２本の等温変化からなるサイクルですが、明らかに熱源が二つだけだとまずい事になります。ただし、理論熱効率はカルノーサイクルと同じです。

＞たとえばカルノーサイクルを考えるときに、Q2は低温側熱源への放熱
＞という明確な定義があります。不可逆がたとえばピストンのコネクティ
＞ングロッドの摩擦などから生じていた場合、これをＱ2に含めてしまう
＞わけにはいかないと思いますがどうでしょう？

そうかも知れませんが、でも、いずれにしても、得られる仕事は小さくなっていなければおかしいです。それに、いったん蓄熱機にでも入れて熱機関が廃熱するときに一緒に捨てましたと言っても良いのではないかと。
でも、排熱Q２の中に何らかの損失によって、発生する熱を含ませるか含ませないかは別にして、エネルギー保存即では、最初から明示しておいた方が良いかと思います。ただQ２に入れておいた方がいろいろな意味で楽だと思います。

もうだいぶ眠いので、何言っているか判らないかもしれませんが、よろしければがんばって見てください。

お礼

お相手いただきまして、ありがとうございます。
急ぎませんので、空いている時間を使ってください。

お礼のほうに書きたかったのですが、お礼は1000文字までということだそうで、入りきらなかったので補足と分割させていただきました。
他意はありませんので、ご容赦ください。

補足

＞つまり、もし、カルノーサイクルの効率が最高でないと仮定すると矛盾が導かれるのです。

この証明が、カルノーサイクルとオットーサイクル等を比較する場合には有効ではない（だろう）ということが問題なのです。トムソン（ケルビン）の原理が否定しているのは【一つの一定の温度の熱源】から熱をとりそれをすべて仕事に変える事なので、複数の熱源がある場合はこれを破っても問題がありません。カルノーのサイクルとオットーサイクルを接続してその背理法を使おうとすると、どうしても熱源が複数になるので、証明が成立しなくなります（と思います）。

＞スターリング・サイクルと呼ばれるサイクルは（中略）、理論熱効率はカルノーサイクルと同じです。

このスターリング・サイクルはかなり特殊で少し考え込みました。

スターリング・サイクルと同じ経路を通る可逆サイクルを考えると、この可逆サイクルの効率はＴＳ線図が外接するカルノーサイクルと比較すると効率は小さくなります。しかし、スターリングサイクルでは、等積冷却過程で出た熱は放熱せずにサイクル内部の蓄熱器にため込み、等積加熱過程で使うということをします。このため、効率の計算では等積過程で出入りする熱はＱ1にもＱ2にも加算されず、等温過程で出入りする熱だけで効率を計算するのでカルノー・サイクルと同じ効率になっています。結果として二つの等積過程の熱源は関与しなかったことになっているので、スターリング・サイクルは、実質的には二つの熱源のみを持つサイクルです。

＞でも、いずれにしても、得られる仕事は小さくなっていなければおかしいです。

はい。それはそのとおりで、δQが正であればその分外にする仕事Wは小さくなります。

＞ただQ２に入れておいた方がいろいろな意味で楽だと思います。

実際にエンジンの効率などを考える場合はそうなのだろうと思いますが、ここで問題にしたいのは、熱力学的な【最大効率】の意味をわかりやすく説明することなのです。可逆過程で出入りする熱をQ1,Q2、不可逆過程によるそこからの差をδＱとして、

Q1-Q2 = W + δQ > W

としておけば、可逆過程でδＱが0ならばＷは最大になる、つまり、効率が最大になり、不可逆でδＱが正の値ならＷはそれより小さくなることがより明確にわかると思うのです。

考え方としては、これで間違っていないということは、ともかくわかりました。Ｑ2を放熱の合計と定義し直してδＱをＱ2に含めるかどうかは、どこに力点を置くかというスタンスの違いですね。

回答No.6

tareo

まいど。
オットーサイクルを内燃機関のみに用いられるなどとは言っていません。こちらがいいたかったのは、熱の生成方法にはいろいろあると言うことと熱源はあくまでも熱と言うエネルギーの供給源とみなして考えた方が良いのではないですかということです。熱の生成方法がたとえ不可逆だろうが可逆だろうが、ある系に熱が取り込まれる際には関係ありません(何から何まで全部系に含めることはできますが、今考えているのは熱サイクルを対象としているのでそこまで考える必要はありません)。それに熱源の温度がなんであれ各々の過程によって、熱サイクルで用いられる気体などの動作流体の温度や圧力や体積がどう変化するかを考えるのが今の問題で重要なことだと言うことです。それによってそのサイクルの効率なりを考えられるのです。
どうも熱の取り込みについて、拘っておられるようなので、こう考えてみられたいいのではないでしょうか、と言うより普通の教科書は以下のように説明しているのではないかと思いますが、つまり、熱源を極めて大きいとみなすことによって熱源と系との温度差による熱移動の問題をクリアできます。例えば、ΔQという有限の熱を高熱源から受け取ったとします。系にはこれによってΔQの熱が入りそれによって温度が上昇したりしますが、では、熱源はどうなるかと言うと、この場合は熱源の温度は変わりません。熱源が極めて大きい場合と言うのは熱容量が大きいと考えられるので、ΔQに対して熱容量を十分大きくとれる限り温度差による熱移動の問題を回避できると思います。低熱源についても同様です。ただし、系では流入した熱による状態変数の変化は当然のごとく起きます。また、系に熱源を含ませることはできません。さらに、どうせ今、可逆サイクルと言う理想化された系について議論しているのだから、熱源だって理想化してもいいと思います。また、実際問題としてはここで得られた知見で十分問題を解くことができます(エンジンの設計に関する参考書などを見てください。)。

＞ここがちょっとちがうと思います。等積加熱過程では、蓄熱器の
＞熱のみを使います。(3)式と(7)式を見ていただければ、わ
＞かると思いますが、Ｑ23とQ41は正確に等しい大きさです。
＞等積過程に外部からの熱は入りません。

＞(8)式までは各過程での熱と仕事を計算しただけで、ここまで
＞で普通に熱効率を計算すると

＞η’＝[L12+L34]/[Q34+Q23]

Q２３とQ４１が等しいからと言って等積過程に外部からの熱がはいらないとは言えません。また、効率の計算に直接的に外部への仕事をしていない過程で流入する熱量を含ませることはできません。等積過程で流入する熱量の寄与は直接的には状態３のみです。T３が上がろうが下がろうが、式で書く限りQ２３とQ４１の表現は変わりません。

＞そこでスターリングサイクルでは(8)式の後に書いてあるよう
＞にQ23にQ41を使うことでこれを内部の熱の移動とし、外部
＞から受け取らないことでη’の分母のQ23を消しています。こ
＞こがこのサイクルの工夫です。

原文では「...4-1間で放出した熱量Q41を全て2-3間で受けとる熱量Q23に利用できるものと考えます。」となっていますが、これは２ー３の過程で、４ー１の過程で放出される熱を全て利用できると書いてあるだけで、２ー３の過程で利用される熱が４ー１で放出された熱のみと言っているわけではありません。
最後にQ２３は効率の計算に使用するのは先に述べた理由、すなわち外部への仕事に用いられない熱を効率の計算に使うのは適切ではありません。したがって、最初からQ２３は効率の計算には直接には入って来ません。Q２３は内部エネルギーの増加、また、その結果としての温度や圧力の上昇に用いられると言うことです。

以上です。反論をどうぞ。

お礼

こんばんは。いつもありがとうございます。

こだわっているというか、温度が変化する過程で準静的過程を考える場合の常套手段ですが・・・

そもそも理想気体を考えると、オットーサイクルの効率は

ηo＝１－T1/T2＝1-T4/T3
（T1,T2とT3,T4は断熱過程の両端の温度。T1, T4＜T2, T3）

カルノーサイクルの効率は

ηc＝１－TL/TH　（TL<TH)

なので、オットーサイクルの断熱過程の両端の温度比がカルノーサイクルの温度比に等しければ効率は等しいですが、これが異なるとオットーサイクルの効率はカルノーサイクルより大きくも小さくもなるわけですね。となると、そもそもオットーサイクルの効率がカルノーサイクルよりも小さいと証明すること自体が無理だと思いますね。

＞また、効率の計算に直接的に外部への仕事をしていない過程で流入する熱量を含ませることはできません。

だとすると、熱の出入りが等積過程のみのオットーサイクルの効率はQin=0になって発散してしまいます。

＞４ー１の過程で放出される熱を全て利用できると書いてあるだけで

２－３で温度をT2からT3に上昇させるのに必要な熱量は４－１で放熱される熱量に正確に等しいので、4-1で放熱される熱Q41をすべて２－３でつかうと、それだけで必要な熱量がまかなえてしまうので、それ以外の熱は必要ない、というか、余計な熱ががあってはまずいのです。

回答No.5

tareo

>熱源と作動流体に温度差がありそこに熱が流れると不可逆になりま
>すから、
>可逆で回すためには熱源と作動流体の温度は等しい必要がありま
>す。(実現は不可能ですが、そこは、例によって準静的過程という
>ことで。）なので、無限小の温度差の熱源が無限個必要で、この無
>限個の熱源はカルノーサイクルの熱源とは異なるものです。(う
>ち、二つの熱源だけはカルノーサイクルと共用が可能なばあいもあ
>ります。)

オットーサイクルが内燃機関のサイクルだと言うのはご存知だと思いますが、内燃機関では熱の供給は燃料と空気の混合蒸気の燃焼によっているので、別に温度差によって熱量が供給されなければならないわけではないと思います。また、オットーサイクルの解説に出てくる温度はあくまでも作動流体の温度で熱源の温度ではないと思います。熱源はあくまでも熱量を供給するものではないかと思います。

>スターリングサイクルでは、蓄熱器への熱の出入りはサイクル内
>部での熱の移動として扱われていて、外部から・外部への熱には
>組み入れられないようです。探してみたら下のようなページがあ
>りましたが、ここの計算でも外部からの吸熱は等温過程の吸熱の
>みとして扱っています。((8)式と(9)式の間)

その前の(６)式を御覧になってください。この(６)式に温度T３がありますが、これは等温膨張にはいる直前の動作流体の温度です。蓄熱器への流入が何であれ、等容過程(吸熱)では、この蓄熱器に蓄えられた熱も加えられ、その熱と等容過程で与えられる熱の和が、このT３を上昇させ、結果として等温膨張による外部への仕事を増やしていることには変わりは無いと思います。
以上ですが、また不備な点もあるかも知れませんので一度ご検討お願いします。

お礼

いつもありがとうございます。

＞オットーサイクルが内燃機関のサイクルだと言うのはご存知だと思いますが、

オットーサイクルは理論サイクルですから、オットーサイクル自体が内燃機関ということではないはずです。燃焼は不可逆の最たるものですから理論効率を求めるときには使えません。理論効率を計算するときには可逆の条件で行いますから、等積過程にはどうしても無限個の熱源を用意することが必要です。

＞等容過程(吸熱)では、この蓄熱器に蓄えられた熱も加えられ、
＞その熱と等容過程で与えられる熱の和が、

ここがちょっとちがうと思います。等積加熱過程では、蓄熱器の熱のみを使います。(3)式と(7)式を見ていただければ、わかると思いますが、Ｑ23とQ41は正確に等しい大きさです。等積過程に外部からの熱は入りません。

(8)式までは各過程での熱と仕事を計算しただけで、ここまでで普通に熱効率を計算すると

η’＝[L12+L34]/[Q34+Q23]

となって、これはカルノーサイクルの効率

ηc＝[L12+L34]/Q34

よりも小さくなります。そこでスターリングサイクルでは(8)式の後に書いてあるようにQ23にQ41を使うことでこれを内部の熱の移動とし、外部から受け取らないことでη’の分母のQ23を消しています。ここがこのサイクルの工夫です。

回答No.4

tareo

早速ですが、この間の続きですね。

＞この証明が、カルノーサイクルとオットーサイクル等を比較する場合
＞には有効ではない（だろう）ということが問題なのです・・・＜略＞＞・・・どうしても熱源が複数になるので、証明が成立しなくなります＞（と思います）。

もしかして、熱源の温度と動作流体の温度を混同されているということは無いですか？。詳しく、hitokotonusiさん証明をお伺いしたいです。

＞スターリング・サイクルと同じ・・・＜略＞・・・スターリングサイ
＞クルでは、等積冷却過程で出た熱は放熱せずにサイクル内部の蓄熱器
＞にため込み、等積加熱過程で使うということをします。このため、効
＞率の計算では等積過程で出入りする熱はＱ1にもＱ2にも加算されず、
＞等温過程で出入りする熱だけで効率を計算するのでカルノー・サイク
＞ルと同じ効率になっています。結果として二つの等積過程の熱源は関
＞与しなかったことになっているので、スターリング・サイクルは、実
＞質的には二つの熱源のみを持つサイクルです。

等容過程(冷却）の熱を等容過程（吸熱）に使うとしても、1サイクル後の等容過程（吸熱）時に与えられる熱量は、等容過程(冷却）＋等容過程（吸熱）となるのではないかと思われます。したがって、少なくとも3つの熱源が必要なのではないかと思われ、蓄熱器もある種の熱源とみなせば、4つになるのではないですか？。ただ蓄熱器は高熱源にも低熱源にもなるようなので、ちょっと複雑ですね。また、動作流体の温度は、1サイクル後の等容過程(加熱）時には、排熱が加算されて、最初よりも与えられる熱量が大きくなるので、動作流体の温度はより高くなるのではないかと思われます。したがって、等容過程での熱は使われないということはないと思われますが、如何でしょうか？。

お礼

いつもお付き合いいただきありがとうございます。

＞熱源の温度と動作流体の温度を混同されているということは無いですか？

熱源と作動流体に温度差がありそこに熱が流れると不可逆になりますから、
可逆で回すためには熱源と作動流体の温度は等しい必要があります。(実現は不可能ですが、そこは、例によって準静的過程ということで。）なので、無限小の温度差の熱源が無限個必要で、この無限個の熱源はカルノーサイクルの熱源とは異なるものです。(うち、二つの熱源だけはカルノーサイクルと共用が可能なばあいもあります。)

そこで、さてどうしようか・・・というところです。

＞蓄熱器もある種の熱源とみなせば、4つになるのではないですか？

スターリングサイクルでは、蓄熱器への熱の出入りはサイクル内部での熱の移動として扱われていて、外部から・外部への熱には組み入れられないようです。探してみたら下のようなページがありましたが、ここの計算でも外部からの吸熱は等温過程の吸熱のみとして扱っています。((8)式と(9)式の間)

http://www.nmri.go.jp/eng/khirata/stirling/cycle/index.html

回答No.2

tareo

効率って、結局、受けた熱量のうち仕事にかわった割合なので、それ以外比較する方法はないのではないでしょうか？。で、動作流体が理想気体で可逆変化のときは、他の可逆サイクルも効率が同じになるのかなと思いましたが、いかがでしょうか？。

あと、δQなんですが、仕事などのエネルギーも最終的には熱にかわるのだから、別にQ２の中に含ませてもいいのではないかと単純に思いったのですが、どう思われますか？。

補足

再度回答ありがとうございます。

＞それ以外比較する方法はないのではないでしょうか？

それというのはW/Q1でしょうか？
当然効率の比較とはこれ(W/Q1)を比較するのですが、可逆サイクル同士の比較であっても、その比較の仕方が問題であるということなのですが。

普通、オットーサイクルよりもカルノーサイクルのほうが効率が高いと言いますが、これはそのような比較の仕方を選択している（ＴＳ線図が外接するようにカルノーサイクルをとる）だけの話で、熱力学のいう最大効率とは関係ない話ではないか？というところはどうですか？

＞別にQ２の中に含ませてもいいのではないかと単純に思いったのですが、

たとえばカルノーサイクルを考えるときに、Q2は低温側熱源への放熱という明確な定義があります。不可逆がたとえばピストンのコネクティングロッドの摩擦などから生じていた場合、これをＱ2に含めてしまうわけにはいかないと思いますがどうでしょう？

回答No.1

tareo

吸収される熱量Q１を同じにして、放出される熱量Q２を比較したらいいのではないですか？。
それともう一つ（（注）別にスティーブ・ジョブズを気取っている訳ではないです。）、
＞このエネルギー保存の式がサイクルの可逆不可逆によらず成立していると
＞してしまうと、不可逆のカルノーサイクルの効率も最大効率になってしま
＞います。
＞・・・・・＜略＞・・・・・・
＞したがって、このエネルギー保存の式は不可逆過程では成り立たず、散
＞逸するエネルギーをδＱとして

＞Q1-Q2 = W + δQ > W

＞と修正する必要があります。

損失がある場合、というか不可逆過程がある場合、エネルギーを力学的エネルギーに限定するなら保存されないと思いますが、この場合、単に放出される熱量Q２が大きくなったと見なせば良いのではないかと思われます。つまり上式は
Q１－（Q２＋δQ）＝W’（不可逆過程がある場合）＜W
として改めてQ２＋δQをQ２とおけばいいのではないかと思われますが、いかがですか？

お礼

gooから二週間経過したというメールが来ましたので、このあたりで締めさせていただこうと思います。tareoさんには長文でお付き合いいただきましてありがとうございました。

ただ、入り口のところでぐるぐる回るだけで本質の議論に入れなかったのは残念でした。

補足

ご回答ありがとうございます。

＞吸収される熱量Q１を同じにして、放出される熱量Q２を比較したらいいのではないですか？。

最初は同じようにQ1を等しくしてWを比較したらいいかと思っていましたが、
たとえば、可逆カルノーサイクルでは高温熱源の等温過程を同一にしておけばQ1は常に等しくなりますが、低温熱源の温度しだいでいくらでも熱効率の値は変わってしまいます。オットーサイクル他でも事情は同じでしょう。

＞として改めてQ２＋δQをQ２とおけばいいのではないかと思われますが、いかがですか？

クラウジウスの不等式

dS >= d'Q/T　変形して　TdS >= d'Q　(等号は可逆過程)

は微小不可逆変化では、熱という形態のエネルギー移動以上にTdSが増加することを示しています。この増加分TdS-d'Qは次元的にはエネルギーに相違ありませんが、熱d'Qの中からは除外されている部分です。これを熱に繰り入れることは妥当でしょうか？この辺、今ひとつよくわかりません。