数列の和について

質問

（問題）次の和を求めよ

　　　１・１＋２・３＋３・３[2]＋……＋ｎ・３[ｎ-1]

求める和をＳとすると

　　　Ｓ＝１・１＋２・３＋３・３[2]＋……＋ｎ・３[ｎ-1]
　　３Ｓ＝　　　　１・３＋２・３[2]＋……＋（ｎ-1)・３[ｎ-1]＋ｎ・３[ｎ]

としますが、何故ずらしてひくのですか？詳しくご説明お願いします。

回答No.5

oshiete_goo

＃３，４ですが，＃４は＃２さんのご回答と重なってしまい，大変失礼しました．
無視して下さい．
＃３の補足を誤解していたようで，
上の式の
＞……＋ｎ・３[ｎ-1]
の最後の１つ前は，規則性から　＋（ｎ-1)・３[ｎ-2]　です．
すると，３倍して（１つ右にずらすと）下の式の
＞……＋（ｎ-1)・３[ｎ-1]＋ｎ・３[ｎ]
になります．

実際には，下の式で　＋ｎ・３[ｎ]　の１つ前は　＋（ｎ-1)・３[ｎ-1]
と判断するのが普通でしょうか．
[上に＋ｎ・３[ｎ-1] の項があるので，３[ｎ-1]　に合う項が欲しいわけです]

質問者さんの疑問点はここでしょうか．

お礼

遅くなってすいません。そうです、私の分からない所はここです。たくさん問題を解いてみます。有難うございました。

回答No.4

oshiete_goo

２つの式を辺辺引くと，
－２S＝１＋３＋３^2＋……＋３^(ｎ-1) －ｎ・３^n
となり，右辺の最後の項以外は
初項１，公比３，項数ｎの等比数列の和と見なせます．

回答No.3

oshiete_goo

一般項が，ｎ・3^(n-1)　なので，このままでは簡単でない（等差数列や等比数列ではない）けれども，
前だけ見ると等差数列，後ろは等比数列です．

すると３倍（後ろの”公比”にあたるもの）してずらして3^kの部分を合せて引くと
等差数列の隣り合う２項の差は定数（前の”公差”にあたるもの）になり，
引いた結果は，（一部が）等比数列になります．

補足

では、下の最後の式　　（ｎ－１）・３[ｎー1]＋ｎ・３[ｎ]
はどうやって作るのですか？

回答No.2

seapassion

#1ですが・・・

-2S=1+3+3^2+.....+3^(n-1)-n*3^n

っとなって、右辺の最後の項以外[1+3+3^2+.....+3^(n-1)]の部分が
初項１　公比３　項数n　の等比数列になりますね。

回答No.1

seapassion

これはもともとはなんの規則性もない数列なんですが、
ずらして引くことにより、等比数列として扱うことが可能になるからですよ・・ね。。（確か。。）

お礼

ずらしてひく下の式はどうやって作ったら良いのですか？