50枚を1枚ずつ引いて100回、全部を選ぶ確率

質問

確率のことで質問です。

実際に知りたい確率は下の場合。

(1)50枚のカードがあり、これを毎回5枚ずつ引き、選びます。
(2)先ほど引いた5枚はまた元に戻し、シャッフルする。
(3)5枚選ぶ作業を計20回繰り返します。（全部で100枚）

この時、50枚のカードを全て選ぶ確率はどのように求めればいいかが
わかりません。

考えていったのですが、
そもそも50枚から1枚を選んで100回繰り返し、全部選ぶ確率の
求め方もわからなくなってきました。
50/50 × 49/50 × 48/50・・・× 1/50＝x
だとしたら50回で50枚全部選ぶ時の確率ですよね。

アドバイスをお願いします。

回答No.3

20080715

＞(1)50枚のカードがあり、これを毎回5枚ずつ引き、選びます。
＞(2)先ほど引いた5枚はまた元に戻し、シャッフルする。
＞(3)5枚選ぶ作業を計20回繰り返します。（全部で100枚）

＞この時、50枚のカードを全て選ぶ確率はどのように求めればいいかが
＞わかりません。

50枚のカードの中から同時に5枚を選び出し、選び出した5枚のカードを
すべて元に戻す。この操作を20回繰りかえす。
このとき、50枚のカードについて、どのカードも1回以上選び出されている
確率を求めるにはどうしたらいいか？ という質問ですね。

二項係数をC(a,b)と書くことにします。( C(a,b)=a!/(b!*(a-b)!) です。)
計算式と答えは、
(1/(C(50,5))^20)*Σ[k=0,45]C(50,k)*((-1)^k)*(C(50-k,5))^20
=(1/(2118760)^20)*1246292832045243805988424064166806254107
6396786117443911174640967681820962619595827466194429849318
64784910483037225630464000
=0.0003749598709342… (答)

求めたい確率の分母は、(C(50,5))^20 です。
この(C(50,5))^20通りのうち、特定のk枚(0≦k≦45)のカードが全く選び出されない
ようなものは、(C(50-k,5))^20 通りだけあります。(特定のk枚以外の(50-k)枚の
カードについては、選び出されても、選び出されなくてもどちらでもよい。)
よって、(C(50,5))^20通りのうち、どのカードも1回以上選び出されているような
ものは、包除原理より、Σ[k=0,45]C(50,k)*((-1)^k)*(C(50-k,5))^20 通り
あります。

一般に、
L 枚のカードの中から同時に M 枚を選び出し、選び出した M 枚のカードを
すべて元に戻すという操作を N 回繰り返すとき、どのカードも1回以上選び出されている
確率を P(L,M,N) とすると、
P(L,M,N)=(1/(C(L,M))^N)*Σ[k=0,L-M]C(L,k)*((-1)^k)*(C(L-k,M))^N です。

＞考えていったのですが、
＞そもそも50枚から1枚を選んで100回繰り返し、全部選ぶ確率の
＞求め方もわからなくなってきました。

P(50,1,100)を計算すればよいです。
P(50,1,100)=0.000166163…

お礼

申し訳ないです、回答の意味がほとんどわかりませんでした…。
数学の知識がないとてんで導き出せないのかな、と感じました。
解法を考えていただき、ありがとうございました。