高分子化学の重縮合における式の導出方法が分からないのでお願いします。

質問

高分子化学の重縮合の基本的な部分になるのですが、
例として、ジエチレングリコールとアジピン酸のエステル化反応を繰り返して高分子になる反応を考える問題です。
この反応の化学反応式は理解できたので省略します。
このエステル化反応は、強酸の添加のない場合はエステル化をうけている酸の第二分子が触媒として作用するので、反応速度は次式で表わされる。
－d[COOH]/dt=k[COOH]^2[OH]　…(1) (^2は2乗の意味)
反応速度定数kが重合度に依存しないとし、ジエチレングリコールとアジピン酸を等モル混合したとすると、[OH]と[COOH]は常に等しいので、その官能基濃度をcとすると、
式(1)は次のようになる。
－dc/dt=kc^3　…(2) (^3は3乗の意味)
式(2)を積分すると、次式が得られる。
1/c^2=2kt+1/co^2　…(3) (^3は3乗の意味、oは下添字)
ここで、coはt=0での官能基濃度である。反応率PをP=(c0－c)/c0で定義すると、重合度rは次式で与えられる。
r=c0/c=1/(1－P)　…(4)　　　　(oは下添字)
また、式(4)を式(3)に代入することにより、次式が得られる。
r^2=2kco^2t+1≒2kco^2t　…(5) ( ^2は2乗の意味、oは下添字)

一方、強酸を十分添加した場合は、反応速度は次式で表される。
－d[COOH]/dt=k[COOH][OH]　…(6)
すなわち、次式となる。
－dc/dt=kc^2　…(7) (^2は2乗の意味)
式(7)を積分すると、次式が得られる。
1/c=kt+1/co　…(8) (oは下添字)
式(8)に式(4)を代入すると、次式が得られる。
r=kcot+1≒kcot　…(9) 　(oは下添字)

この中で、
(1)式(2)を積分すると、式(3)が得られる。
(2)式(4)を式(3)に代入することにより、式(5)が得られる。
(3)式(8)に式(4)を代入すると、式(9)が得られる。
の導出方法が、何度試みても分かりませんでした。
具体的な導出手順や解法をぜひお教えください。
どうか、宜しくお願いいたします。

回答No.2

drmuraberg

微分の公式
x^n の微分は n*x^(n-1) で定数の微分は０、
積分はその逆算だから
x^(n-1) の積分は (x^n)/n （不定積分なら＋積分定数）

∫c^(-3)dc=-k∫dt の両辺の積分計算。
c＾(-3)は n-1=-3,つまり n=-2
1=t^0 は n-1=0,つまり n=1。
両辺それぞれに積分の公式を使えば
(c^(-2))/(-2)+C1=-kt+C2,　C1とC2は積分定数。
整理すると
c^(-2)=2kt+2C1-2C2, 2C1-2C2=C （定数の和は定数）と置くと。
1/c^2=2kt+C
t=0で c=co より、1/co^2=C
したがって
1/c^2=2kt+1/co^2　　　式(3)

x^nの微分積分は反応論では時々出てくるので
頭にいれておいてください。

お礼

ありがとうございますっ!!!
ぜんぜんわからなかったのでとても助かりました。

あの、…もしよろしければ、
(2)式(4)を式(3)に代入することにより、式(5)が得られる。
(3)式(8)に式(4)を代入すると、式(9)が得られる。
の導出方法についてもご教授お願いできませんか??
今日ずっとチャレンジしてみたんんですが、やはり、導出できませんでした。。
どうか、お願いいたします。

回答No.1

drmuraberg

(1)式(2)を積分すると、式(3)が得られる。
(2)式(4)を式(3)に代入することにより、式(5)が得られる。
(3)式(8)に式(4)を代入すると、式(9)が得られる。

式（２）を整理して
∫c^(-3)dc=-k∫dt これを積分して右辺に出てくる積分常数を
t=0でc=coの条件で求め整理すると式(3)。

式(4)と式(8)をそれぞれ、c=co/rと変数をcからrに変えて整理。
後は近似として１を無視。

補足

あの、積分が正直苦手でそこの部分のやりかたがよくわからないのですが…。。
もしよろしければ、導出例など詳細をお願いいたします。