- ベストアンサー
複素関数論による積分の理解方法と特異点の取り扱いについて
rnakamraの回答
#1のものです。 ＞[-∞～∞]の積分の積分をしたい関数が特異点を全く持たない場合には、その積分値は必ずゼロになるということで良いのでしょうか？ 「z .→ ∞のときf(z) は1/z より速く0 に近づく」という条件があるときはそうなります。 たとえば、∫[-∞,∞]exp(ikx)dxは積分はk≠0で0になりますが、これはk>0の時はx軸より上側に半円をとると上記の条件を満たしますので"0"になります。k<0の時はx軸よりも下側に半円をとればよい同様なことが言えますのでやはり"0"になります。 もちろん、前提条件が成り立たない場合は成立しません。 (たとえば∫[-∞,∞]x^2dxは無限大に発散します。) ＞また、もし-iに一つだけ特異点を持つような場合にはどうすれば良いのでしょうか？上の半円に解析接続した場合と下の半円に解析接続した場合で、答えが違って来てしまうと思うのですが、どうすればよいのでしょうか？ もし-iに一つだけ特異点を持ちそこでの留数がでなく、かつ「z .→ ∞のときf(z) は1/z より速く0 に近づく」という条件がIm(z)>0の場合とIm(z)<0の両方で成り立つときがあれば問題ですが、そんな関数は絶対にないので問題はありません。 z=-iに特異点を持ちその留数が0でない場合、上の半円としたの半円をつないだもの(円)上の経路の積分は半径を無限大にした極限をとろうが、その積分の値は2πi×(z=-iでの留数)となり0にはならないのです。 >>特異点aの周りの半径εの半円の経路上の積分が有限の値を持つことで説明でます。 >つまり、これは留数定理は間違っているということになるのではないでしょうか？ >留数定理では閉曲線で積分した際にその中に留数が入っていなければ積分値はゼロになってしまうはずですが、このように閉曲線の外にあっても有限の値をもつというのはどういうことなのでしょうか？ そんなことはありません。というよりも、この小さな半円上での積分が0にならないことこそ留数定理が成り立つことを意味しています。 留数定理とは、閉じた経路上での積分の値が経路で囲まれた領域内の特異点の留数の総和に2πiをかけたものになる、というものです。 あくまで閉じた経路での話であり、その経路の一部分だけ取り出して成り立つ話ではありません。 その経路で囲まれた範囲内に特異点がない場合、経路全体での積分の値が0になるのであり、今回のような経路の場合、2箇所の直線部分と大きな半円、小さな半円、それぞれの経路上の積分値を足したものは0になりますが、それぞれの経路の積分が0になるわけではありません。 #1でε→0で半円上の積分が有限の値に収束するとは半円という閉じていない経路での積分ですのでそれ自体は0になる必要はありません。 (実際は、この積分の値はその半円の中心での留数に密接に関係しています。) 大きな半円上の積分がr→∞で0に収束するとし、小さな半円上の積分がε→0でαに収束するとすると、直線上の積分∫[-∞,∞]f8x)dx=-αとなります。(全ての経路での積分を足すと0になるため)
関連するQ&A
- 複素積分で特異点が線上にある場合
複素積分で特異点が線上にある場合 例えば、f(z)=1/(z-1) C:|z|=1 のような場合 特異点は内部ですか？外部ですか？ 内部なら留数定理を用いて求めます 外部なら定理より0となります よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分についてです。
∫（z^3+5）dz /z{(z-1)^3} の閉曲線Cに沿った積分を求めるのですが、問題は(1)z=0を中心とした半径1/2の円周を反時計回りに一周した積分値。(2)z=0を中心とした半径2の円周を反時計回りに一周した積分値を求めよ。 なのですが、(1)では特異点1を、(2)では特異点0,1をC内部に含んでいて、積分値は０にならず一定の値をとることは分かるのですが、被積分関数がうまく部分分数分解できず、コーシーの積分公式も使えず、値が求められないのですがどうしたらいいのでしょうか・・・・。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分について
複素数cと実数ξとし、 f(z)=(e^(iξz))/(z-c) という複素関数を考えます。 lr={z=t ; -r<t<r} 、Cr+={z=re^(it) ; 0≦t≦π} 、 Cr-={z=re^(-it) ; 0≦t≦π} として、lrとCr+を合わせた曲線をγ+、lrとCr-を合わせた曲線をγ-とします。 ここで、 （１）Im c≠0、|c|<rとしたとき、f(z)のγ+、γ-上の積分 （２）Im c≠0、ξ≠0のとき、実軸上の積分、 ∫[-r,r] f(x)dx , r→∞ という問題なのですが、（１）については、 ）Im c>0のとき γ-上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ-] f(z)dz=0。 また、γ+上の積分は、留数定理により、∫[γ+] f(z)dz=2πie^(iξc)。 ）Im c<0のとき γ+上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ+] f(z)dz=0。 また、γ-上の積分は、留数定理により、∫[γ-] f(z)dz=2πie^(iξc)。 となると思うのですが、これで大丈夫なのでしょうか？ また、（２）については、 ∫[γ+] f(z)dz + ∫[γ-] f(z)dz =∫[Cr+] f(z)dz +∫[Cr-] f(z)dz+2∫[lr] f(x)dx と考えたのですが、左辺については、Im cの符号によらず4πie^(iξc)となると思いますが、右辺については、よくわからなくなってしまいました。どのようにして、考えていけばよいのでしょうか？どなたかお力添えよろしくお願いします。 読みにくい文章で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分の問題です。
複素積分の問題なのですがインテグラル{cox(x)/x^2+1 }dx 範囲が -∞～∞ になっていて答えがπ/e になっています。留数定理をもちいて計算しようとおもったのですが x=zとおいて 孤立特異点がi,-iになり Res(f,i)をもとめていこうとしたのですが、ここからどうも答えに辿りつきません。 どなたかお手伝いよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 【複素積分】0→πについて
∫[0,π] d/(d+acosθ)dθ (d>a>0) の計算なのですが、 複素数に拡張して考えました。 z=e^izとおき、オイラーの公式をつかって z(z:1→-1)に変数変換し、留数定理を用いて計算しました。 その結果、-2πd/√(d^2-a^2)となり、解答の２倍に なってしまいました。 良く考えてみれば、私が複素平面上に 上反面の半円の経路で積分したことが まずかったのかもしれない、と思っているのですが、 円を考えると、それはそれで積分ができません。 解き方が分からず困っています... どなたか数学に詳しい方、よろしくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数