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複素関数論による積分の理解方法と特異点の取り扱いについて
rnakamraの回答
- rnakamra
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>「z .→ ∞のときf(z) は1/z より速く0 に近づく」という条件があるとき、 >[-∞～∞]の積分範囲での積分が、それプラス上の半円の積分をしたものと等しくなる これは、半円上の経路での積分の値がz→∞の極限で"0"に収束するからです。 厳密な証明は解析概論にでも書いてあったと思いますのでそちらを見てもらうとして、大体次のように説明できます。 半径rの半円上の積分の値はその半円上のでのf(z)の絶対値の最大値をMとすると |∫(半円上)f(z)dz|<=∫(半円上)|f(z)dz|<=∫(半円上)Mdz=πrM となります。 Mがr→∞で1/rよりも早く収束すると、一番右の項は0に収束することから、一番左側の積分も0に収束することがわかります。 >24ページでこの[-∞～∞]の積分の途中で特異点を含む場合には、その特異点を避けるように避けるようにすることで積分が出来るようになる 積分は経路上に特異点を持つことができませんので避ける必要があります。閉じたい経路の積分ではその内側に特異点を持つことはできても、経路上に特異点を持つことは許されないのです。 この場合、∫(-∞,∞)f(x)dxを計算するわけですが、x=aに特異点を持つため、(a-ε,a+ε)を避けた部分での積分を計算し、ε→0とすることで広義積分を求めています。 特異点の避け方として、特異点を中に含まないように閉じた経路をとっていますが、これは単に計算をしやすくしているに過ぎません。別に特異点を中に入れるように経路をとっても計算は可能ですが、その特異点での留数を求めておく必要があるため計算が増えるだけです。 なお、この積分が有限の値を持つのは、特異点aの周りの半径εの半円の経路上の積分が有限の値を持つことで説明でます。 閉じた経路上での積分の総和が0になり大きい半円上の積分も0に収束しますが、小さい半円はε→0の極限をとっても有限の値を持つため実軸上の積分はその積分を打ち消すだけの値を持つことになります。
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