- ベストアンサー
複素積分について
孤立特異点が閉曲線Cの内部にある場合、外部にある場合は コーシーの積分定理などでわかるのですが C上にある場合はどうなるのでしょうか？
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (2)
- grothendieck
- ベストアンサー率62% (328/524)
- PRFRD
- ベストアンサー率73% (68/92)
関連するQ&A
- 複素積分についてです。
∫（z^3+5）dz /z{(z-1)^3} の閉曲線Cに沿った積分を求めるのですが、問題は(1)z=0を中心とした半径1/2の円周を反時計回りに一周した積分値。(2)z=0を中心とした半径2の円周を反時計回りに一周した積分値を求めよ。 なのですが、(1)では特異点1を、(2)では特異点0,1をC内部に含んでいて、積分値は０にならず一定の値をとることは分かるのですが、被積分関数がうまく部分分数分解できず、コーシーの積分公式も使えず、値が求められないのですがどうしたらいいのでしょうか・・・・。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分で特異点が線上にある場合
複素積分で特異点が線上にある場合 例えば、f(z)=1/(z-1) C:|z|=1 のような場合 特異点は内部ですか？外部ですか？ 内部なら留数定理を用いて求めます 外部なら定理より0となります よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分（コーシーの積分定理）について質問です
zを複素数としする。コーシーの積分定理によれば「関数f(z)が領域Dで正則であるとして、領域D内の任意の閉曲線Cの内部が領域Dに含まれる場合、閉曲線Cに沿った関数f(z)の周回積分は0になる。」が成り立つと思います。 そこで次の問題を考えました。（zは複素数変数、aは実数の定数、iは虚数単位とする） 「原点を中心とする半径aの円を閉曲線Cとする。閉曲線Cに沿った、関数f(z)=1/(z-ai)の周回積分Iをを求める。」 閉曲線Cの内部で関数f(z)は正則だけれども、閉曲線Cは関数f(z)が正則でないz=aiの点を含んでいるのでコーシーの積分定理は利用できない。…(1) そこで、次のように積分を行うことにしました。閉曲線Ｃを複素数で表して、C：z=a*exp(iθ) (0≦θ≦2π) dz/dθ=ai*exp(iθ) よってI =∫f(z)dz =∫{ai*exp(iθ)/(a*exp(iθ)-ai)}dθ (積分範囲は0≦θ≦2π) ここで、[Ln(a*exp(iθ)-ai)](0≦θ≦2π)=0…(2) そこで質問です。 (1)は正しく、閉曲線の外周上に被積分関数が正則で無い部分があるなら、コーシーの積分定理は成立しないのでしょうか？ (2)ln(z)は無限多価関数なので、どの複素関数の不定積分でもないと思ったので、Ln(z)を不定積分として用いたのですが、これは大丈夫なのでしょうか？ ご回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素関数論による積分を教えて下さい。
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/LaurantExpand.pdf ・ここの18ページに、 「z .→ ∞のときf(z) は1/z より速く0 に近づく」という条件があるとき、 [-∞～∞]の積分範囲での積分が、それプラス上の半円の積分をしたものと等しくなるというように書かれていますが、その理由が全く分かりません。 なぜこのようなことが出来るのでしょうか？ ・24ページでこの[-∞～∞]の積分の途中で特異点を含む場合には、その特異点を避けるように避けるようにすることで積分が出来るようになる、 というふうに書かれていますが、これの意味も分かりません。 留数定理によれば、閉曲線の積分において曲線内に留数を含まない場合にはその積分はゼロになるはずです、 にも拘わらず上記の積分では留数を閉曲線の外に出すようにして積分をして有限の値が出てきています。 そもそもなぜ積分の閉曲線の外に特異点を出すのかもよく分かりません。 自分なりに書籍も当たってみましたが、これが当たり前のように説明されていて意味が分かりませんでした。 どなたかなぜこのようなことをするのか教えて頂けないでしょうか？ 或いはこういったことに関して書かれている書籍を教えて頂けないでしょうか？ よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の解法について
こんばんは。複素積分の問題なのですが、例えば ∫c{(x+y)+i(x-y)}dz (積分経路Cは、0～1+i～1) のような問題の場合どのような回答になるでしょうか。 また、 ∫c[z/{(z-2)(z-4)^2}]dz (C:|z|=1) のような問題の場合、|z|=5などの場合はコーシーの積分表示などで解くことができると思うのですが、この問題のように特異点が分からない場合はどうしたらいいでしょうか。どなたか分かる方がおられれば教えていただけると幸いです。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線分長無限大でのコーシーの積分定理
コーシーの積分定理で積分曲線の長さが有限の場合はわかりますが、 線分長が有限でない場合で、積分が収束する場合にもコーシーの積分 定理が成り立つのでしょうか？成り立つとするとどういう証明に なりますか。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分の問題です。
教科書の問題からの抜粋ですが、答えが省略されていて分かりません。私のやり方と答えで良いのでしょうか？教えて下さい。 問、(2z+1)/(z^2-1)を次のかく点を中心とし、半径1の正方向の円に沿って積分せよ。 (1), z=1/3 (2), z=i 答え、 (1), z=1/3を中心として半径1の正方向の円にそっての積分範囲は、C={ z｜-2/3≦ｚ≦4/3 } であり、 与式=∫c(2z+1)/(z^2-1)dz=∫c(2z+1)/(z+1)*1/(z-1)dz と書ける。 ここで(2z+1)/(z+1)は曲線Cの内部で正則なので、コーシーの積分公式より z=1 と置いて、 ∫c(2z+1)/(z+1)*1/(z-1)dz=2πi*(2*1+1)/1+1=3πi (2), z=iを中心として半径1の正方向の円に沿っての積分範囲は、C={ z｜0≦ｚ≦2i } であり、 与式=∫c(2z+1)/(z^2-1)dz=∫c(1/z)*(2z^2+z)/(z^2-1)dz と書ける。 ここで(2z^2+z)/(z^2-1)は曲線Cの内部で正則なので、コーシーの積分公式より z=0 と置いて、 ∫c(1/z)*(2z^2+z)/(z^2-1)dz=2πi*0=0 特に(2)は自信がありません。以上お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
お世話になります。 【問題】 次の関数を示された閉曲線Cに沿って積分せよ。 f(z) = 1 / ( z^(2) + 1 ) C : 原点中心、半径 r > 1 の円周 【解答】 f(z) = 1 / ( z^(2) + 1 )はこの円内で正則でない。 そこでf(z) = 1 / ( z^(2) + 1 )を部分分数展開すると… (解答続く…) 【質問】 関数が正則であるというのは領域内で微分可能であるということはわかっているのですが、なぜこの問題のf(z)は微分不可能なのかわかりません。またこの問題はコーシーの積分定理とどう関係あるのでしょうか。(定理はわかっています) よろしくお願いします。 ※参考URL※ http://next1.msi.sk.shibaurait.ac.jp/MULTIMEDIA/complex/node19.html (このページを使って勉強しています)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の問題です。
複素積分の問題なのですがインテグラル{cox(x)/x^2+1 }dx 範囲が -∞～∞ になっていて答えがπ/e になっています。留数定理をもちいて計算しようとおもったのですが x=zとおいて 孤立特異点がi,-iになり Res(f,i)をもとめていこうとしたのですが、ここからどうも答えに辿りつきません。 どなたかお手伝いよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。 参考になりました。さっそくやってみようとおもいます。