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線形写像の問題です。

以下の問題ですが解けないので困っています。 よろしくお願いします

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  • Mr_Holland
  • ベストアンサー率56% (890/1576)
回答No.2

(1) 次の条件を使います。   a) ベクトルxとT(x)の中点は、ベクトルuと直交する。   b) ベクトルxとT(x)で表される点を結んだ直線は、ベクトルuと平行。  これらを式で表すと、次のようになります。   a) ( { T(x) + x }/2 , u )=0   b) T(x) - x = k u (k:実数)  これらを連立することで、次の答えが得られます。   ∴ k=-2(x,u)     T(x)=-2(x,u)u+x (2) 行列については、次のように考えます。   a) xを-θだけ原点を中心に回転させます。   b) 回転させたものを y軸に対して対称移動 させます。   c) 対称移動させたものを +θだけ原点を中心に回転させます。   すると、行列A(2×2の正方行列)は次のようになります。    A=[ cosθ, -sinθ; sinθ, cosθ] [ -1, 0; 0, 1] [ cosθ, sinθ; -sinθ, cosθ]     =[ -cos(2θ), -sin(2θ); -sin(2θ), cos(2θ) ]   ( 「;」で行を折り返してください。)

その他の回答 (1)

  • settheory
  • ベストアンサー率48% (13/27)
回答No.1

xを直線l上の点とします。xとuとの内積が0ということは、xとuが直交してることになります。両方とも原点からのベクトルなので、原点で直交していることがわかります。よって、uの方向を横軸とすれば、lはその縦軸になります。(XY平面のX軸とY軸の関係) Tというのは、平面の点をその縦軸で折り返す操作になります。 uの長さが1より、原点を中心とする、半径1の円周上の点になり、問題文(2)のように表せます。上のことと合わせると、実数平面のX軸、Y軸を角θだけ回転させ、回転させたY軸について線対称になるよう点をうつすというのが、Tの意味です。(図を描いてみればわかると思います。)点xからT(x)に向かうベクトルが直線lと直交します。そのことからベクトルuと平行になります。ベクトルxをベクトルuに正射影したものを考えれば、xからT(x)に向かうベクトルがわかります。T(x)が求まれば、それを行列に書き直すのは難しくはないと思います。  

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