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2を何乗したら2億を超えるか
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2^10=1024≒1000=10^3 ですから 2億=2*10^8=200*(10^3)^2≒200*(1024)^2=200*2^20 概算ですがほぼ 128=2^7<200<256=2^8 と考えられます。つまり 2億は2^27と2^28の間位の数と見積もれます。 実際の筆算計算して確認すると 2^27=(2^7)*(2^10)*(2^10)=128*1024*1024=134217728(2億より小さい) 2^28=(2^27)*2=134217728*2=268435456(2億より大きい) となります。 したがって2億を越える2^nのnの最小値は 2^28=2^nなので n=28 ということが分かります。 対数が分からなくてもこういった方法で解決できます。
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- orcus0930
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通常の方法は#1の方のやり方でいいと思います。 ここでは2^nに限定して話を進めていきたいと思います。 まずは2^10=1024を覚えます。これを約1000と考えて見積もります。 ついでに、1~9乗も覚えちゃいましょう。知っておくと便利だと思います。 200,000,000 <200×1024×1024 <256×1024×1024 =2^8*2^10*2^10=2~28 で28乗で2億を超えることは比較的簡単にわかります。 また、2^(10n)は2^300で初めて最高位が2になるので、そこまでの範囲ならこの手法は応用できます。
- banakona
- ベストアンサー率45% (222/489)
>何回掛けたらこの数になる、という計算方法はありますか。 これはまさに「対数」というヤツです。 まずは禁じ手の電卓から。Windowsの電卓で行なうと、「2」「Exp」「8」「log」「/」「2」「log」「=」とすると27.57・・・ となり、これは27回では2億に満たないという意味なので、28回が答え。「log」の代わりに「ln」を使ってもOKです。 2番目。対数表を使う。 3番目。2億を2で何度も割るよりも少しマシ?な方法。 A列:1 2 4 8 16 32 B列:2 4 16 256 65536 4294967296 という2つの列を書きます。Aは1から始めて2倍ずつしたもの、B列は2から始めて前の項を2乗していったものです。 B列で2億を超えているものを探します。すると、A列が32のとき42億とちょっとなのでlog(2)2億は32より小さく16より大きいことがわかります。この16を覚えておきます。 次に2億を65536で割ります。すると3051.7・・・となり、これよりも大きい数をB列から探します。すると、A列が16のとき65536なのでlog(2)3051.7・・・は16より小さく8より大きいことがわかります。この8を覚えておきます。 次に3051.7・・・を256で割ります。すると、11.92・・・となり、これよりも大きい数をB列から・・・(以下同様) コレを繰り返すと、「覚えておいた数」は16,8,2,1となります。これらを加えると27となり、これがlog(2)2億の整数部となります。実際のlog(2)2億にはコレに小数部がつきますからlog(2)2億=27+α(0<α<1)となり、28のときに2億を超えることが分かります。 ちなみにA列、B列とも上記よりも左側の部分すなわち A列:・・・ 0.125 0.25 0.5 B列:・・・ 2^0.125 2^0.25 2^0.5 を補って同様のことをすると、αの値を求めることも可能です。B列を計算するために√キーが欲しくなりそうですが、これは比較対象の方を2乗することにより回避できます。ケタの多い小数を2乗するのは大変ですが。 4番目:やったことがないので無責任な回答ですが、おそらく計算尺でもできるでしょう。
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
2をn乗したときに2億を超えるとします。 このことを式で表すと、次のようになります。 2^n>200,000,000 この式の両辺の常用対数をとって整理しますと、次のようになります。 n log_10 (2) >8 + log_10(2) ∴n>(8+log_10(2))/log_10(2) log_10(2)≒0.301 ですので、ここから n>27.57・・・ となりますので、 n=28 で超えることが分かります。 このような計算でしたら、電卓は使わなくても 手計算でできるかと思います。
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