ε論法

質問

lim(n→∞)r＾ｎ＝０ （0<｜r｜<1）
の証明をお願いします。

たぶんイプシロン論法を使うんだと思うんですが・・・・使い方がわかりません。

回答No.2

yamori2009

No1のものです
すいません
正確には
N=max{10,[log(ε)/log|r|+100]}ですね

回答No.1

yamori2009

lim(n→∞)r^n=0
⇔任意のε>0をとり、あるN(ε)(自然数)が存在し、N(ε)より大きいすべてのn(自然数)に対して、|r^n-0|<εが成り立つ

ということなので、
|r^n-0|
<|r|^n
<|r|^N(ε)
なので、|r|^N(ε)<εが成り立つようなNが存在すればよい
|r|^N(ε)<ε
exp(N(ε)log|r|)<exp(log(ε))
N(ε)log|r|<log(ε)
N(ε)>log(ε)/log|r|
よって
N(ε)=[log(ε)/log|r|+100]（[]はガウス記号)
とおけば
|r^n-0|<εがどのεについても成り立つので
lim(n→∞)r^n=0
である

お礼

とてもわかりやすいですヾ(*´∀`*)ノ
ありがとうございます