ε‐δ論法について

質問

大学1年生です。数学の授業で課題としてε‐δの問題がでたのですが、その問題というのが授業でやった問題と形が違うので解き方が分からず困っています。
授業でやったことでさえまだまだ理解できていないのでできれば解き方の解説もしてもらえれればとても嬉しいです。

さすがに問題そのものを教えてもらうのは気が引けるので、問題の数値を変えましたので誰か教えていただけないでしょうか？

問題
ｎ→∞のときＸ＿n→aならば、Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ/ｎ→a

であることをε‐δ論法で証明せよ。

回答No.6

funoe · ベストアンサー

さきの回答の下ごしらえまで理解できたって前提で続きです。

（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ）/ｎ　→　ａ
をε-δ（数列の収束だからε-Nの方）で示すってことは、

ｎが大きいとき
｜（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ）/ｎ　　-　ａ　｜　＜　ε
を示すってこと。

ε-Nでの記述は、
Ｘ＿n→a　なので、任意のε＞０に　対して、ある自然数ｎ０が存在して、
n0<nとなるｎに対して、|X_ｎ－ａ ｜＜ε/２　とできる。

・・・ここで、”＜ε”ではなく、”＜ε/２”　とεの半分を使っているのは「下ごしらえを踏まえた先の見通し」ってヤツです。

ここで、下ごしらえに沿って式変形して、

｜（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ）/ｎ　　-　ａ　｜
＝|（（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ）-ｎａ）/ｎ　　
＝| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・・・・＋(X_n-a))/n|
・・・・ここで、ｎ０までとｎ０以降の前半、後半に分ける
＝| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0－ａ）＋（X_（n0+1)－ａ）＋・・・＋(X_n-a))/n|
・・・・ここで、前半と後半を分離する。絶対値を外すとき不等号になることに注意、三角不等式ってヤツ。
≦| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0－ａ））/ｎ｜＋｜（（X_（n0+1)－ａ）＋・・・＋(X_n-a))/n|
＜| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0－ａ））/ｎ｜＋　（ε/2）＊（n-n0）/ｎ
＜| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0－ａ））/ｎ｜＋ε/2

ここで、第1項の分子側の
((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0－ａ））は、有限項の和なので上界Ｍを持つ。
したがって、ある自然数ｎ１が存在して、
ｎ１＜ｎ　ならば、Ｍ/ｎ＜ε/2　となるようなｎ１が存在する。
　・・・・この定理は、実数のアルキメデス性ってヤツで使ってよい定理です。証明は"実数の定義に従い・・"。
　・・・・なお、ここも”＜ε”ではなく、”＜ε/２”にしてます。種明かしはもうすぐ。　

以上より、ｍａｘ（ｎ０，ｎ１）＜ｎなるｎに対して、
｜（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ）/ｎ　　-　ａ　｜
＜| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0－ａ））/ｎ｜＋ε/2
＜ε/2＋ε/2＝ε
　・・・ここで、それぞれあえて”＜ε/２”にした理由がわかるというオチでした。

以上、そうとう、細かくしつこく書いてみました。
シナリオの流れを十分に理解できたら、適宜はしょって記述すればよいでしょう。

大学入って最初にε-δに触れたときって「概念に関する理解」だけでなく、「お作法に沿った記述の仕方（スイングフォームのようなもの）」の両方を覚えないといけないので頑張ってください。

お礼

おお・・・ありがとうございます！他で調べたよりはるかに分かりやすい解説でした！これを参考にして課題がんばってみます。

丁寧に教えてくれて本当にありがとうございます！

回答No.5

muturajcp

lim_{n→∞}x_n=a
だから
任意の正数ε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|(x_n)-a|<ε/2
だから
n_1>n_0+2Σ_{k=1～n_0}|(x_k)-a|/ε
となる自然数n_1が存在し
Σ_{k=1～n_0}|(x_k)-a|/n_1<ε/2
だから
n>n_1となる任意の自然数nに対して
|Σ_{k=1～n}{(x_k)/n}-a|
=|Σ_{k=1～n}{(x_k)-a}/n|
≦Σ_{k=1～n}|(x_k)-a|/n
=Σ_{k=1～n_0}|(x_k)-a|/n+Σ_{k=n_0+1～n}|(x_k)-a|/n
<Σ_{k=1～n_0}|(x_k)-a|/n_1+(n-n_0)(ε/2)/n
<(ε/2)+(ε/2)
=ε
∴
lim_{n→∞}Σ_{k=1～n}x_k/n=a

お礼

回答ありがとうございます！

もう1人の方とは少し違う解き方なんですね、他の人の回答と一緒に参考にさせてもらいます！

回答No.4

funoe

んーー。結構、微妙な理解の仕方ですねぇ。

本当にわかっているかがわからないといった感じが伝わってきます。

えっと、
ｎ→∞のときＸ_n→a　だから　結構先のほうのX_ｎは、「ほとんどaに近い」「ほとんどaと同じ」って感じなのはOK？

だから、手前の方はまぁ別にしても、先の方では大体ａってことは
Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ　って
Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・＋Ｘ_m＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ・・・＋ａ　に大体近くなるわけ。ＯＫ？
（補足にあるような、Ｘ_ｎに近づくってんじゃなくて、「ａに近づく」っていう理解が良いよね）

高校生的な直感表現でいえば
（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ）/ｎ
≒（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・＋Ｘ_m＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ・・・＋ａ）/ｎ
≒（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・＋Ｘ_m）/ｎ　＋　（ａ＋ａ＋ａ＋ａ・・・＋ａ）/ｎ
≒　Ｍ/ｎ　＋　（ａ＋ａ＋ａ＋ａ・・・＋ａ）/ｎ　
　で、　Ｍ/ｎ→0
　　　　（ａ＋ａ＋ａ＋ａ・・・＋ａ）/ｎ　→ａ
　だから　
（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ）/ｎ　→ａ　　って感じ。ここまではＯＫ？

--
ε‐δでいえば、
Ｘ＿n→a　ってことは、
適当な（小さ目の）正数εに対して（きっと大き目の整数の）ｍがあって、
項番ｍより先のＸ_ｎはほとんどａと同じ。具体的には　|X_n - a| < ε　とできる。

１項からｎ項までの和である、Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎを
前半のｍ項と、その後ろに分けて考えると、

項番ｍまでの、1項からｍ項までを
Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・＋Ｘ_mの部分は
（X_1－ａ）＋ａ＋（X_2－ａ）＋a＋（X_3－）＋ａ＋・・・＋（Ｘ_m－ａ）＋ａ
＝（X_1－ａ）＋（X_2－ａ）＋（X_3－）＋・・・＋（Ｘ_m－ａ）＋ｍ＊ａ
って書き換えてみると
（X_1－ａ）＋（X_2－ａ）＋（X_3－）＋・・・＋（Ｘ_m－ａ）の部分を定数Ｍだと置くと
Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・＋Ｘ_m　
＝Ｍ　＋　ｍ＊ａ
（えっと、前半の各項は、ａから結構離れていたりするのがいたりするけど、その「ズレ」「誤差」を全部まとめても
　せいぜい有限のズレがｍ項分しかないからその和をＭという定数で表現できるってことです。ＯＫ？）

後半の部分は、ほとんどａに近い数を繰り返し足し算しているので、
X_(m+１）＋X_(m+2)＋・・・・・・＋Ｘ_ｎ
＜｜ａ＋ε｜＋｜ａ＋ε｜＋｜ａ＋ε｜＋・・・＋｜ａ＋ε｜＝（ｎ－ｍ）｜ａ＋ε｜

ということは、
Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ
＝Ｍ＋ｍ＊ａ　＋X_(m+１）＋X_(m+2)＋・・・・・・＋Ｘ_ｎ
＜Ｍ＋ｍ＊ａ　＋（ｎ－ｍ）（ａ＋ε）＝Ｍ＋ｎ＊ａ＋｜ｎ－ｍ｜ε

ｎで割った与式は、
（Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ）/ｎ
＜　Ｍ/ｎ　＋　ａ　＋　｜ｎ－ｍ｜ε/ｎ
でｎを大きくすれば1項と3項は０に近づくから2項のａだけ残って極限がａになるんだけど、

ε‐δ(ε‐m）で記述するには、ここまで下ごしらえをしておいてから、
逆算的に、改めてεを与えてからどんなｍにすれば良いかを考えることになる。

---
と、ここまで、だらだらと思考の流れを書いたけど、ここまではＯＫ？

疲れたから続きはあとで。

お礼

私のために解説ありがとうございます！
なるほど場合分けをするのですか！

ところで|X_n - a| < εということはほぼ0 < εであるということでいいんですよね？

回答No.3

funoe

この命題の正しさが直観的にはわからない。

この命題が正しいことは感覚的にはわかるがε‐δ論法での記述方法がわからない。

--

もし前者であるなら、
日本語で説明できないことを英語で説明するようなもので、「そもそも無理」です。
（単純な式変形で機械的に記述できる！という見解もあるのでしょうけどね。いまは、無理です）

もし後者であるのなら、
あなたの言葉で（ε‐δ論法ではなく、日常的な日本語で）、数学の不得意な高校生にこの式の極限がａになることをしっかり詳しく説明するとしたらどのようになるか書いてくれたら・・・、答えを記載する気になるかも。
っていうか、、いま、ε‐δでの回答をしても、日本語で理解できないことは英文を読んでももっとわからないのといっしょで「無駄」ってことになりますからね。

--
本屋さんで探せばこの辺の入門書に答えが載っているのは間違いないので、そもそも、こんな回答もどきは無視して、参考書を見るのも一法です。

補足

ｎ→∞のときＸ＿n→aならば、Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ/ｎ→a

であることを証明せよ。

まず、x_1+x_2+x_3+.....+x_nはxがn個あるため=n*x_nとする。
次にx_1+x_2+x_3+.....+x_n/n=n*x_n/nとなる。

n*x_n/n=aでnを約分してx_n=aとなり、ｎ→∞のときＸ＿n→aならば、Ｘ＿１＋Ｘ＿２＋Ｘ＿３＋・・・・・・＋Ｘ＿ｎ/ｎはaに限りなく近ずくことが証明された。

これで合ってますか？

回答No.2

endlessriver

これは有名な問題なので、まともな微積の教科書には載っているはずなので
調べましょう（私も長らくその回答の意味を理解できなかったのだが）。

この問題の類題というのはあまり考えられず、これを課題で出す教師に疑問を
感じます。この問題は多分ε‐δ論法でしか解くことができず、ε‐δ論法

のキモの１つです。だから、教師が、その意義とか意味をじっくり説明する
例題であるはずです（だから、まともな教科書には必ず回答がある）。

関係ないのだが、類題として最近、次の例を見た。

bk>0,Σbk→∞,ak→a ならば、(Σbk・ak)/Σbk→a

お礼

ありがとうございます！最初意味が分かりませんでしたがとても参考になりました！

回答No.1

Tacosan

大学生が「授業でやった問題と形が違うので解き方が分からない」なんてほざいちゃいけないなぁ.

ちなみにその問題, あなたにとってなにが「問題」なの?

補足

そもそも私がε‐δ論法を理解していないことが問題なのと、情けない話ですが本当に「授業でやった問題と形が違うので解き方が分からない」のです・・・。