畳み込み積分の漸化式？

質問

f(t)=sin(t),ただし定義域が、0≦t≦πのとき、次式が成り立つとします。
g(t)=f(t)＋∫f(τ)g(t-τ)dτ
ただし、右辺第二項の積分区間はτ=0からτ=t-Δtです。
(Δtは限りなく0に近いとします)
このとき、g(t)の一般式はどのように表せるのでしょうか。

回答No.2

Tacosan

積分が 0～t でいいならラプラス変換するのが最も簡単でしょう. 第2項は畳み込みなので
G(s) = 1/(s^2+1) + G(s)/(s^2+1)
から G(s)s^2/(s^2+1) = 1/(s^2+1). つまり G(s) = 1/s^2 なので
g(t) = t.

お礼

ありがとうございます。
変換という方法があったのですね。気づきませんでした。
どうもありがとうございましたm(_ _)m

補足

今回
f(t)=sin(t)
を例として挙げたのですが、実はf(t)はいろいろな関数があります。
その中で、
f(t)=exp(at^b)　（ただしa、bは任意の実数で、0≦t＜∞です）
という関数についても、同様に求めたいのですが、f(t)=exp(at^b)をラプラス変換するとどうなるのでしょうか？
変換表では見当たらなかったので、ラプラスの公式を利用して解こうとしたのですが、実力及ばず解けませんでした。。。

回答No.1

Tacosan

う～ん, 積分区間が 0～t なら余裕なんだけどな....
でも, 積分区間が 0～t-Δt だと, g(t) じゃなくて g(t, Δt) にしないとまずいような気もする. 普通, t と Δt は独立だよね?

お礼

ありがとうございます。
Tacosanさんの書き込みを見て気付きましたが、積分区間は０～tでOKでした。(τ=tのときにg(t-τ)=g(0)=0となるため！)
これで何とかなるものでしょうか。。。
現状、チカラワザで
g(t)=f(t)+Σ{f(i)g(t-i)}　(右辺第二項の区間は、i=0～t)…(※)
として、Excelで計算しておりましたが、もともとの連続関数を離散的に近似していますし、tをx倍にすると、計算時間はx^2倍になってしまい、困っておりました。
私の理想的には、最初の質問で書いた、積分の関数を一般式のような形で記述し計算したいのですが、(※)の離散的な漸化式？だけでも、g(t)が一般式で記述できれば非常にうれしいです。