畳み込み積分，δ関数の問題（本当に困っています；）

質問

こんばんは。何度も申し訳ないのですがお願いします。

問１ f(t)*g(t) (*・・畳み込み積分)を答えよ
(1) f(t)=sint,g(t)=cost
(2) f(t)=1-at,g(t)=e^at

これは先輩曰く問題が不十分で、積分範囲を自分で定めるらしいです。
でも、どの範囲がふさわしいのかよく分かりません。
とりあえず0→tで畳み込みの公式に代入してやってみたところ、
(1)0.5tsint,(2)1/a(e^at-1)-1/2a^2(e^2at-1)+1になりました。
なんか変ですよね・・；
どう考えればよいのでしょうか。

問２
信号x(t)=sin2πt（0≦t≦1）が与えられているとき、
x(t)とδ(t)+2δ(t-1)-3δ(t-2)との畳み込み積分によって得られる信号の概形を図示せよ。

自分で解くと
∫(-∞→∞)x(τ){δ(t-τ)+2δ(t-1-τ)-3δ(t-2-τ)}dτ
=∫(-∞→∞)x(τ)δ(t-τ)dτ＋∫(-∞→∞)x(τ){2δ(t-1-τ)}dτ+∫(-∞→∞)x(τ){3δ(t-2-τ)}dτ
=x(t)+2x(t-1)+3(t-2)
これにx(t)=sin2πtをあてはめて、加法定理などをつかうと０になりました。
信号の概形の問題で答えが０っておかしいですよね；

なにかアドバイスでもいいので、お答えお待ちしています。
このなかのどの問題についてでもいいので、よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
A#1の補足です。
記号が重複しましたので問2の畳み込み後の波形を
x(t)と書いたのをy(t)と変更して

y(t)=f(t)*g(t)
=sin(2πt)+sin(2π(t-1))u(t-1)-5*sin(2π(t-2))u(t-2)
+3*sin(2π(t-3))u(t-3) (t≧0)
とします。
式自体は正解ですので変更はありません。

y(t)をtで区切って書き換えると
t<0および 3≦tで y(t)=0
0≦t<1の時　y(t)=sin(2πt)
1≦t<2の時　y(t)=2sin(2πt)
2≦t<3の時　y(t)=-3sin(2πt)
となりますね。
このように時刻tの範囲ごとに分ければ信号の波形を描きやすいですね。

> =x(t)+2x(t-1)+3(t-2)
=x(t)+2x(t-1)-3(t-2) …(A) ←　としてもまだ間違いです。
> これにx(t)=sin2πtをあてはめて、加法定理などをつかうと０になりました。

上記の各項は、時間的に重複できない項ですので足し算で書くこと自体矛盾しています。加法定理以前に加える事自体間違いです。
t<0で　y(t)=0
0≦t<1で　y(t)=x(t)=sin2πt
1≦t<2で　y(t)=2x(t-1)=2sin2πt
2≦t<3で　y(t)=-3x(t-2)=-3sin2πt
3≦tで　　y(t)=0
ですから、(A)式では、時間の適用範囲が異なる各項の
波形を加えあわせてはいけませんね。

お礼

何度もすいませんでした。
なるほど。感覚的ではありますが分るようになってきました。
本当にいろいろとありがとうございます。

回答No.1

info22

問１
> (1)0.5tsint
合ってます。
> (2)1/a(e^at-1)-1/2a^2(e^2at-1)+1
解答が書いてないのでチェックできず。
当方で計算した結果は
x(t)=f(t)*g(t)=t (t≧0)
です。

問２
当方で計算した所、
u(t)を単位ステップとして
x(t)=f(t)*g(t)
=sin(2πt)+sin(2π(t-1))u(t-1)-5*sin(2π(t-2))u(t-2)
+3*sin(2π(t-3))u(t-3) (t≧0)
となりました。
波形を描く方は自分でどうぞ。

なお、計算結果が正しいかは保証できません。

お礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありませんでした。
問2は簡単な計算ミスでした。すいません。
参考になりました。
どうもありがとうございます。