合成関数の最小値

質問

「kは正の定数とする。f(x)=x^2-kxで、0≦x≦2のとき、(f○f)(x)の最小値をkの値で場合分けして求めよ。」

という問題で、f(x)のkの値による場合分けはできたのですが(正誤は分かりません)、(f○f)(x)の場合分けができません。どなたか解る方、ヒントだけでも良いのでお願いします！！

丸が大きいのでわかりにくいですが、(f○f)(x)はf(f(x))(x)のことです。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

こんな問題は、展開してしまうと、かえって面倒になる。

先ず、0≦x≦2の時の、f(x)＝x^2-kxの最小値を求める。
kは正の定数から、2つの場合分けが必要。f(x)＝yとすると、k≧4の時、y≧4-2k。‥‥(1)　0≦k≦4の時、y≧-k＾2/4.‥‥(2)

そこで、関数：f(f(x))＝y＾2-kyの最小値を(1)と(2)の場合に各々求めると良い。
その最小値のグラフを書いてみて、連続になっていれば（絶対とは言わないが）正しいと思っても良い。

実際の計算は、自分でやって。

回答No.3

owata-www

(f○f)(x)はf(f(x))(x)ではなくてf(f(x))ではないですかね

つまり
(f○f)(x)＝f(x)^2-kf(x)ってことでいいのでしょうか？

f(x)のkの値による場合分けが出来ているということは、kの場合分けでf(x)の取る範囲はわかっているということですよね

そうすれば、そのf(x)の範囲で(f○f)(x)＝f(x)^2-kf(x)の最小値を考えればいいわけです

まあ、どうしてもわからなければ
f(x)=x^4-2k^2x^3+k^2x^2-kx^2-k^2xと展開して微分して場合分けでもいい気もしますが

回答No.2

spring135

記号の意味がよくわからないのですが
(f○f)(x)=f(x)^2-kf(x)=(x^2-kx)^2-k(x^2-kx)
=x^4-2k^2x^3+k^2x^2-kx^2-k^2x
と考えてよいのですか。

回答No.1

koko_u_u

>f(x)のkの値による場合分けはできたのですが(正誤は分かりません)

何ができたのか、わかりませんが、それを補足にどうぞ。