微分

質問

kは正の定数とする。
関数f(x)=-1/3x^3+3/2kx^2-(2k^2)x+k^3

の区間0≦x≦2における、最小値m(k)を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.4

info22_

>f(x)=-1/3x^3+3/2kx^2-(2k^2)x+k^3
回答者に正しく伝わるような式の書き方をして下さい。

f(x)=-(1/3)x^3+(3/2)kx^2-(2k^2)x+k^3　(k>0) ,,,(1)
の解釈で良いですか？

そうなら
f'(x)=-x^2+3kx-2k^2=-(x-2k)(x-k)
f'(x)=0の時のxはx=k,2k
3次式f(x)の最高次の係数<0なので
x=kで極小値、x=2kで極大値をとります。
f(x)はx<kで減少、k<x<2kで増加、x>2kで減少する関数です。
f(0)=k^3>0
f(2)=k^3-4k^2+6k-8/3
f(k)=-(1/3)k^3+(3/2)k^3-2k^3+k^3
　=(1/6)k^3<f(0)=k^3(∵k>0)
f(2)-f(k)=(1/6)(5k-4)(k-2)^2
以上の情報からkで場合分けします。
（場合分け毎にグラフの概形を描くようにして下さい。）

0<k≦4/5のとき最小値m(k)=f(2)=k^3-4k^2+6k-8/3
4/5<k≦2のとき最小値m(k)=f(k)=(1/6)k^3
2<kのとき最小値m(k)=f(2)=k^3-4k^2+6k-8/3
(最初と最後の場合は場合分けをまとめて構わないですね。)

回答No.3

j-mayol

もう一つ　場合わけについて
0<k　と増減表またはグラフの概形より最小値m(k)=f(0)となることはありえない。
したがって最小値m(k)=f(k)になる場合とm(k)=f(2)になる場合とに分けて考えればいいんじゃないかな。m(k)=f(2)になるkの値の範囲はどうやら２箇所に分かれそうなので気をつけてくださいね。

回答No.2

j-mayol

＞f(x)を微分し、
f'(x)=0となる値までは出せました。
しかし、グラフが書けず
場合わけのパターンも分からないんです。

ｘ＝ｋと２ｋって出てくるんですかね。
んじゃあ　ｋ>0が分かっているので　k<2k　であることも分かりますので
増減表を書けばグラフの概形は描けないでしょうか？

回答No.1

j-mayol

微分して極値を出してグラフの概形をイメージして（あるいは描いて）、ｋの値によって場合わけが必要ならそれを行い、範囲内での最小値を求めればいいんじゃないでしょうか？私は計算機ではないので計算はしません。

補足

f(x)を微分し、
f'(x)=0となる値までは出せました。
しかし、グラフが書けず
場合わけのパターンも分からないんです。

回答ありがとうございました！