式の値

質問

中学3年で今年受験生のものです。
私立対策の問題集をやっていて解説を読んでもどうしてもわからない問題があるのですが・・・

a+b+c=3 　　　　
a^2+b^2+c^2=5 のときの
a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+3abc　の値を求める問題です。

どうしてもわかりません。わかる方は解説していただけませんでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.7

Mr_Holland · ベストアンサー

＃４です。
　補足を拝見しました。

＞どのような過程で
＞(a+b+c)^2＝a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)　が
＞ab+bc+ca＝1/2 (3^2-5)　となるのでしょうか。

　(a+b+c)^2＝a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
⇔2(ab+bc+ca)＝(a+b+c)^2－(a^2+b^2+c^2)
∴ab+bc+ca＝1/2 {(a+b+c)^2－(a^2+b^2+c^2)}

　この式に、a+b+c=3、a^2+b^2+c^2=5　を代入すると、次のようになります。

　ab+bc+ca＝1/2 (3^2－5)

お礼

とてもわかりやすく教えていただきありがとうございました。
お礼が少々遅れてしまいすいません。
また質問する機会があったらよろしくお願いします。
本当にありがとうございました。

回答No.9

mister_moonlight

別解を示しておく。

a+b+c＝3 、ab＋bc＋ca＝2　を求めるところまでは同じ。

Ｐ＝a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+3abc　＝(b＋c)a＾2＋(b＾2＋c＾2＋2bc)a＋bc(b＋c)＋abc＝（b＋c）*{a＾2＋（b＋c）*a＋bc}＋abc＝（b＋c）*（a＋c）*（a＋b）＋abc＝（3-a）*（3-b）*（3-c）＋abc＝27-9*（a+b+c）＋3*（ab＋bc＋ca）-abc＋abc＝6.

回答No.8

mister_moonlight

a+b+c＝3 、a^2+b^2+c^2＝5　より、a^2+b^2+c^2＝(a＋b＋c)＾2-2(ab＋bc＋ca)＝9-2(ab＋bc＋ca)＝5であるから、ab＋bc＋ca＝2.‥‥(1)
b+c＝3-aであるから、Ｐ＝a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+3abc　＝(b＋c)a＾2＋(b＾2＋c＾2＋3bc)a＋bc(b＋c)＝(3-a)a＾2＋{（b＋c）＾2＋bc}a＋bc(3-a)＝(3-a)a＾2＋{（3-a）＾2＋bc}a＋bc(3-a)＝（3-a）*（3a+bc）＋abc＝-3{a＾2-3a-bc}　‥‥(2)
(1)より、bc＝2－a（b＋c）＝2－a（3-a）＝a＾2-3a＋2　であるから、これを(2)に代入すると、Ｐ＝6.

計算に自信なし、チェックしてね。

回答No.6

kukineko

(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)　×

(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)　です。

回答No.5

owata-www

その解説を書いてもらわないと解説のしようがないと思いますが…

パッと思いついたやり方だと
a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+3abc　
＝(a+b+c)(ab+bc+ca)

で、
2(ab+bc+ca)＝(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)を使えばいいかと

回答No.4

Mr_Holland

与式の３ａｂｃをうまく分解すると、与式は次のように因数分解できます。

　a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+3abc
＝a(ab+bc+ca)+b(ab+bc+ca)+c(ab+bc+ca)
＝(a+b+c)(ab+bc+ca)

　ところで、与えられた条件から、ab+bc+ca の値を次のようにして求めることができます。

　(a+b+c)^2＝a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
∴ab+bc+ca＝1/2 (3^2-5)　＝２

　あとは、数値を代入すれば与式の値が求められると思います。

　この手の問題を解くコツは、まずは＜因数分解＞です。

補足

重ねてご質問してしまいすみません。

＞(a+b+c)^2＝a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
∴ab+bc+ca＝1/2 (3^2-5)　＝２

とありますが、どのような過程で
(a+b+c)^2＝a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)　が
ab+bc+ca＝1/2 (3^2-5)　となるのでしょうか。

申し訳ありませんが、教えてください。
お願いします。

回答No.3

kukineko

(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)と
a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+3abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)
から求められると思います。

回答No.2

noname#101199

あ、ごめんなさい。解答がわからないのではなくて、解説を読んでもわからないのですね。
すると、#1だとやや不親切かもしれませんね。
事細かに解説すると逆にわかりにくくなると思うので（このサイトは数式の記述がメンドウなので）、解説のどこがわからないのか言ってもらえると回答しやすいんですが…。

回答No.1

noname#101199

天下り的に回答します。
読みにくくてごめんなさい。

a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+3abc
=(a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2)-a^3-b^3-c^3+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-a^3-b^3-c^3+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}/2)

これに値を代入するといいでしょう。