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∫dＸ∫dＹcosＸＹ＝２π？
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普通に、 ∫_[-c→d] dY ∫_[-a→b] dX cos(XY) =∫_[-c→d] {Sin(a*Y) + Sin(b*Y)}/Y dY =Si(ac) + Si(bc) + Si(ad) + Si(bd) ただし、Si(x) = ∫_[0→x] sin(t)/t dt までは高校の積分 ということで、 limit_[x→∞] Si(x) = π/2 が言えればＯＫなわけです。 この積分は、ディレクレ積分と呼ばれてますが、 普通は、留数定理を用いて積分しますね。 http://www1.parkcity.ne.jp/yone/math/mathB03_18.htm でも、留数定理を用いない証明 http://www1.parkcity.ne.jp/yone/math/mathB01_10.htm もあるようです。 きちんと読んでないので、大学１年までの知識だけで、証明できるのかは不明ですが。
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- PRFRD
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No.1 へのコメントとして， ∫[0,∞] sin(t)/t dt = π/2 の初等的な証明を挙げておきます． 方針は，収束因子をかけて得られる積分 F(a) = ∫[0,∞] exp(-at) sin(t)/t dt を考え，F(0) を求める，というものです． 微分・極限・積分を適当に入れ替えて計算すると F'(a) = -∫[0,∞] exp(-at) sin(t) dt = -1/(1+a^2) となります．両辺を a で積分すると F(a) = -arctan(a) + C となります．ただし C は積分定数です． a → ∞ のとき F(a) → 0 に注意すると C = arctan(∞) = π/2 となります．従って F(a) = arctan(a) + π/2 であり，a = 0 とおけば F(0) = π/2 となります． 微分・積分・極限を適当に入れ替えているところの証明が ちょっと面倒ですが，一応，初等的にできます．
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さんきゅー
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