∫dＸ∫dＹcosＸＹ＝２π？

質問

問題
∬cos(ＸＹ)dＸdＹ=2πを示せ。但し、積分範囲はＸとＹ何れも-∞→∞とする。
以上

回答、宜しくお願いします。
ついでに注文すると、「Ｙで積分すると2πδ(Ｘ)になってこれをＸで積分すると2π」って感じの回答は反則とさせて下さい。

大学１年次の教養の微分積分学を終えたばっかの新学部２回生でも分かる感じの回答を期待しています。

やはり、留数定理使わないと、無理ですかね。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

普通に、
∫_[-c→d] dY ∫_[-a→b] dX cos(XY)
=∫_[-c→d] {Sin(a*Y) + Sin(b*Y)}/Y dY
=Si(ac) + Si(bc) + Si(ad) + Si(bd)
ただし、Si(x) = ∫_[0→x] sin(t)/t dt
までは高校の積分
ということで、
limit_[x→∞] Si(x) = π/2
が言えればＯＫなわけです。

この積分は、ディレクレ積分と呼ばれてますが、
普通は、留数定理を用いて積分しますね。
http://www1.parkcity.ne.jp/yone/math/mathB03_18.htm
でも、留数定理を用いない証明
http://www1.parkcity.ne.jp/yone/math/mathB01_10.htm
もあるようです。
きちんと読んでないので、大学１年までの知識だけで、証明できるのかは不明ですが。

お礼

さんきゅー

回答No.2

PRFRD

No.1 へのコメントとして，
∫[0,∞] sin(t)/t dt = π/2 の初等的な証明を挙げておきます．

方針は，収束因子をかけて得られる積分
　F(a) = ∫[0,∞] exp(-at) sin(t)/t dt
を考え，F(0) を求める，というものです．

微分・極限・積分を適当に入れ替えて計算すると
　F'(a) = -∫[0,∞] exp(-at) sin(t) dt = -1/(1+a^2)
となります．両辺を a で積分すると
　F(a) = -arctan(a) + C
となります．ただし C は積分定数です．
a → ∞ のとき F(a) → 0 に注意すると
　C = arctan(∞) = π/2
となります．従って
　F(a) = arctan(a) + π/2
であり，a = 0 とおけば F(0) = π/2 となります．

微分・積分・極限を適当に入れ替えているところの証明が
ちょっと面倒ですが，一応，初等的にできます．

お礼

さんきゅー