キルヒホッフの法則が 周波数領域でも有効ということの証明の方法がわかりません

質問

キルヒホッフの法則が　周波数領域でも有効
ということの証明の方法がわかりません。

教科書では

フェーザ表示の　V1 + V2 + V3 + ...について
REAL{(V1 + V2 + V3 + ...)e^(jwt)} = 0
だから
V1 + V2 + V3 + ...　= 0
と書いてあるのですが、
REAL{(V1 + V2 + V3 + ...)e^(jwt)} = 0だけで本当に
V1 + V2 + V3 + ...　= 0 が言えるのでしょうか？

下のように虚数部もゼロになることを言わなくていいのでしょうか？
IMAG{(V1 + V2 + V3 + ...)e^(jwt)} = 0
もし、IMAG{～～} = 0が必要なのなら、
どのようにこの式を導けばよいのでしょうか？

また、キルヒホッフの法則が　周波数領域でも有効
ということの証明が載っているサイトとかをもし知っていれば教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.3

noname#101087 · ベストアンサー

>..... REAL{(V1 + V2 + V3 + ...)e^(jwt)} = 0だけで本当に V1 + V2 + V3 + ...　= 0 が言えるのでしょうか？

ご質問のポイントを誤認してました。

　　REAL{(V1 + V2 + V3 + ...)e^(jwt)} = 0
つまり、
　　(V1 + V2 + V3 + ...)*cos(jwt) = 0　　..... (A)
ならば、
　　V1 + V2 + V3 + ...　= 0
と言えるのは、No.1 さんのコメント通り、すべての t(実数)に対して式(A)が成り立つには、V1+V2+V3+.... = 0 が成り立たねばならないからです。
当然、
　　IMAG{(V1 + V2 + V3 + ...)e^(jwt)} = 0
も成り立ちますね。

>キルヒホッフの法則が周波数領域でも有効ということの証明が載っているサイトとかをもし知っていれば教えてください。

引用の pdf でも sinusoid と phasor の対応をていねいに説明しながら、「キルヒホッフの法則が周波数領域でも有効ということの証明」を進めているように見受けますけど ..... 。

お礼

たびたび回答ありがとうございます。
みなさんの回答をヒントにして、やっと理解することができました。

V1 + V2 + V3 + ...（これも複素数なので
V1 + V2 + V3 +　...　＝　a + jb とみなして、

REAL{(V1 + V2 + V3 + ...)e^(jwt)} ＝ 0を計算していくと、
REAL{(a + jb)e^(jwt)} ＝ 0
REAL{(a + jb)*cos(wt) + j(a + jb)*sin(wt)} ＝ 0
REAL{a*cos(wt) - b*sin(wt) + j｛b*cos(wt) + a*sin(wt)｝} ＝ 0
a*cos(wt) - b*sin(wt) = 0 ということができ、
すべての実数tに対して、上の式は成り立つので
a = b = 0　と言える。
つまり
V1 + V2 + V3 +　...　＝　a + jb　= 0

本当に助かりました！
ありがとうございます。

回答No.4

foobar

以下のようにして示すこともできるかと思います。

式をそのまま展開すると
REAL{(V1 + V2 + V3 + ...)e^(jwt)}
=REAL(V1 + V2 + V3 + ...)cos(wt)-IMAG(V1 + V2 + V3 + ...)sin(wt)
なので、任意のtで0になるには、
REAL(V1 + V2 + V3 + ...)=0かつIMAG(V1 + V2 + V3 + ...)=0

あるいは

V1 + V2 + V3 + ...＝|V|∠θ　として、
REAL{(V1 + V2 + V3 + ...)e^(jwt)}
=|V|cos(wt+θ)
任意のtで0になるには|V|=0すなわち(V1+V2+...)=0

回答No.2

noname#101087

その「教科書」は、ふつうのものと逆の説明をしてるようですが、正確な引用ですか？

ふつうは、
　V1 + V2 + V3 + ...　= 0　→　Re{(V1 + V2 + V3 + ...)e^(jwt)} = 0, かつ Im{(V1 + V2 + V3 + ...)e^(jwt)} = 0
になっていると思います。

補足

回答ありがとうございます。

日本語での説明が見つからなかったのですが、
以下のpdfファイルの３３ページに
私が習った方法と全く同じ方法での説明が載っていました。
http://www.metu.edu.tr/~ozozgun/EEE281/EEE281_Lecture_Phasors.pdf

これだとやはり、証明できてないように思うのですが・・・。

もしよろしければ、
　V1 + V2 + V3 + ...　= 0　→　Re{(V1 + V2 + V3 + ...)e^(jwt)} = 0, かつ Im{(V1 + V2 + V3 + ...)e^(jwt)} = 0

のやり方での証明を掲載しているウェブサイト（もし、知っていたら）、教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

kentaurino

問題の詳細は分かってないのですが、
全t(実数)に対してReal(～)=0が成り立つなら、V1+V2+V3=0が成り立ちそうに思います。

＞また、キルヒホッフの法則が　周波数領域でも有効
フーリエ変換するだけだったりはしませんか？

補足

回答ありがとうございます。

フーリエ変換はまだ習っていませんが、
証明するのにはフーリエ変換を使わなければならないのでしょうか？