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円錐台
arrysthmiaの回答
- arrysthmia
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上面と下面の円の展開図は、流石に簡単なので、 側面の展開図だけ 考察してみる。 適当に縮尺して座標系を置くと、問題の立体の側面は、 底円 x^2 + y^2 = 1 かつ z = 0、 頂点 (x, y, z) = (0.4, 0, 1) の斜円錐で表される。 底円上の点 (cosφ, sinφ, 0) と頂点を結ぶ母線の長さ r は、 r^2 = (0.4 - cosφ)^2 + (sinφ)^2 + 1 である。 …(1) 底円が展開図上に描く曲線の弧長が Φ であるから、 この曲線の極座標表示を (r,θ) と置くと、線素の公式 (dφ/dθ)^2 = r^2 + (dr/dθ)^2 が成り立つ。 …(2) (1) を使って (2) から r を消去すると、 (dθ/dφ)^2 = (1 + u^2) / (0.16 + 2 u)^2, u = 1 - 0.4 cosφ と書ける。 更に整理して、 dθ/du = { 1/ (0.16 + 2 u) } √{ (1 + u^2) / (0.16 - (1-u)^2) }。 …(3) この式を積分すると、θ が u の ある楕円積分で表される。 それを θ = f(u) と置けば、 (r,θ) を直交座標に写して、底円の展開図は、 x = √(2.16 - 0.8 cosφ)・cos f(1 - 0.4 cosφ), y = √(2.16 - 0.8 cosφ)・sin f(1 - 0.4 cosφ) と媒介変数表示される。 わりと複雑な曲線で、作図は現実的でない。 パソコンにでも描かせるしか…。 (3) を積分して f(u) を具体的に求めるのは、 ルジャンドル標準形の計算練習だが、ちょっと辟易する。
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