行列教えてください

質問

固有ベクトル

│a b│
│b c│
この固有ベクトル教えてください

固有値は
│A-λE│=(a-λ)(c-λ)-b^2
=ac-aλ-cλ+λ^2-b^2
=λ^2-(a+c)λ+ac-b^2
=0
よりλ=(a+c)±√((a+c)^2-4(ac-b^2))/2
になり
固有ベクトルは
(a-λ)x+by=0
bx+(c-λ)y=0

を解くことまではわかるんですがこの計算が一向にわかりません
教えてください

回答No.4

arrysthmia

このサイトは、丸教え禁止なので、
No.2 のように答えを書いたりはしませんが…

(a-λ) x + b y = 0 から、x : y の求め方。
比の内項の積＝外項の積　を逆用して、
x : y = -b : a-λ です。

λを消去して、固有ベクトルを a,b,c,d の式で表す部分は、
自分でやってみて下さい。

回答No.3

noname#111804

固有値は
λ=(a+c)±√((a+c)^2-4(ac-b^2))/2
なので、

λ１=(a+c)＋√((a+c)^2-4(ac-b^2))/2
λ２=(a+c)-√((a+c)^2-4(ac-b^2))/2
とします。

固有ベクトルは
λ＝λ１のとき

(a-λ１)x+by=0
bx+(c-λ１)y=0
の2式より
ｘ：ｙを求めます。

同様にして
λ＝λ２のときも同様にして求めます。

回答No.2

info22

> λ=(a+c)±√((a+c)^2-4(ac-b^2))/2
ケアレスミス。
λ1,λ2={(a+c)±√((a+c)^2-4(ac-b^2))}/2
=[(a+c)±√{(a-c)^2+4b^2)}]/2

(a-λ1)x+by=0
bx+(c-λ1)y=0
でx=K1とおいてyを求めれば (x,y)^t (tは転置)
がλ1に対する固有ベクトルになります。
(x,y)^t=K1(1,(λ1-a)/b)^t
λ2に対する固有ベクトルは同様に
(x,y)^t=K2(1,(λ2-a)/b)^t
後は
上のλ1,λ2を代入して計算するだけでいいでしょう。
固有ベクトルの行列が
[　　1　　　　　　1　 ]
[(λ1-a)/b　(λ2-a)/b)]
もちろん、上のλ1,λ2を代入する必要があります。

回答No.1

arrysthmia

λ = { (a+c) ± √( (a+c)^2-4(ac-b^2) ) }/2
のとき、２本の式
(a-λ) x + b y = 0 と
b x + (c-λ) y = 0 は、同値になります。
そうなるように、固有方程式を立てたのです。
あとは、２本の式のどちらでも一方を使って、
x : y が求まりますね。
固有ベクトルは、長さは任意でよいのです。