• 締切済み

直線の方程式

2直線y=x、y=3xのなす角を2等分する直線の方程式を求めよ 解答に「2等分線をy=kxとすると、|1-k|/√1^2+(-1)=|3・1-k|/√3^2+(-1)^2となる。」 というヒントが書かれてあったのですが、このヒントの意味が分かりません。どなたか教えてください。又、もっと分かりやすい解法があれば、教えてください。お願いします。 ちなみに、答えはy=(1±√5)x/2です。

みんなの回答

回答No.4

#3ですが,(手間取っているうちに)別解その2は#2さんのものとダブってしまいました.この部分は無視して下さい.

回答No.3

[別解その1] 2つの直線の方向ベクトル →u=(1,1)・・・長さ√2 →v=(1,3)・・・長さ√10 を長さを揃えて,単位ベクトルにして足し引きすると,(以下矢印省略) [なぜ2つあるかは図で説明してください.] u/|u|±v/|v|=(1/√10){√5(1,1)±(1,3)}//{√5(1,1)±(1,3)}=(√5±1,√5±3) [複号同順] (これをベクトルmとおく) よって,角の2等分線の方向ベクトルの1つとしてそれぞれ →m=(√5±1,√5±3) [複号同順] がとれて,求める直線y=kxの傾きkは k=(√5±3)/(√5±1)=(√5+3)(√5-1)/4,(√5-3)(√5+1)/4  =(2-2√5)/4,(2+2√5)/4  =(1-√5)/2,(1+√5)/2 [別解その2] 傾き=tanθ により tanα=1,tanβ=3 とすると,加法定理より tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=4/(-2)=-2・・・(1) 一方,求める直線の傾きk=tan{(α+β)/2} として 2倍角の公式より tan(α+β)=2k/(1-k^2)・・・(2) (1)=(2)より 2k/(1-k^2)=-2 k=k^2-1 k^2-k-1=0 k=(1±√5)/2

回答No.2

なら、簡単な解法で。 まず、X軸とY=Xがなす角→ α 同様に、X軸とY=3Xがなす角→ β とすると、 tan(α)=1 tan(β)=3 となる。 そして、X軸と”2直線Y=X、Y=3Xのなす角を2等分する直線の方程式”がなす角は、→ α+(β-α)/2=(α+β)/2 となる。 したがって、求めたい直線の方程式は、Y=tan(α/2+β/2)X となる。 ここからは、 tan(α/2+β/2) …(1) を求める問題へと切り替わる。 ここで、便宜上のため、 α+β=t …(2) とおくことにする。 すると、(1)式へ(2)式を代入すると、問題は、 tan(t/2) を求めることになった。 ここで、 tan(t)=tan(t/2+t/2) を用いて、加法定理を利用すると、 tan(t)=2tan(t/2)/(1-tan^2(t/2)) …(3) となる。 また、tan(t)のみ値が不明なので、上と同様に加法定理で求めると、 tan(t)=tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tan(α)tan(β)) より、 tan(t)=(1+3)/(1-1*3)=-2 …(4) となる。 よって、(3)式と(4)式より、 2tan(t/2)/(1-tan^2(t/2))=-2 となる したがって、この二次方程式をとくと、 tan(t/2)=(1±√5)/2 となる。 よって、方程式は、Y=(1±√5)/2*Xとなる。

  • eatern27
  • ベストアンサー率55% (635/1135)
回答No.1

ヒント y=kxとすると、この直線は (1、k) を通ります。 y=kxはy=xとy=3xの2等分線だから y=kx上にある任意の点はy=xとy=3xから等距離にあります。 ax+by+c=0と点(x_0,y_0)との距離は |ax_0+by_0+c|/√(a^2+b^2) であることを知っていれば、問題は解けたようなものです。 >|1-k|/√1^2+(-1) |1-k|/√{1^2+(-1)^2}ですね? これは、x-y=0と、点(1、k)との距離 |3・1-k|/√{3^2+(-1)^2} 3x-y=0と、点(1、k)との距離です。 この2つが等しいから、 |1-k|/√{1^2+(-1)^2}=|3・1-k|/√{3^2+(-1)^2} となります。

関連するQ&A

専門家に質問してみよう