接線があることを示す

質問

C={(x,y)∈R^2,ax^2＋bxy+cy^2+1=0}　(a,b,c)≠(0,0,0)
というxy平面の図形がC≠0でC上のどの点でも接線が存在することを示すという問題があるのですが、

ax^2＋bxy+cy^2+1=0
この式というのは2次曲線の式なので楕円、双曲線、放物線のどれかになると思うのですが、これらになるのだったら間違いなく接線はどの点でも存在するというのは当たり前なのではありませんか？

それとも私の問の理解の仕方が間違っているのでしょうか？

回答No.2

dephands · ベストアンサー

わからんので適当に答えますが、

そういうときは任意のC上の点に対して具体的に接線を求めてみて、
全部求められるからどこでもあるよ。

もしくは、

もしある(a,b,c)のときにどっかの点で接線がないとしたら、、、

のどっちかで考えたらいいんじゃないですかね。

やってみたわけじゃないからわからんけどね。

余談だけども、
数学屋なら後者で瞬殺できるんだろうか。
物理畑な自分は前者しか思いつきませぬ。

お礼

前者の解き方は楕円の時はともかく放物線や双曲線の時は∞まで行くんで全部調べるのは無理っぽいですね。

後者の背理法での解き方なら糸口があるかもしれませんね！

助言ありがとうございます

回答No.4

ichiro-hot

>>C={(x,y)∈R^2,ax^2＋bxy+cy^2+1=0}　(a,b,c)≠(0,0,0)
？？？ですね。
で、ですね、これが試験とかの出題のままで、どうしても答えを出さなければならないのだったらの話ですが・・・
私なら(a,b,c)≠(0,0,0)の「どのような条件化でax^2＋bxy+cy^2+1=0が楕円、双曲線、放物線になるかをのべ、そのときの接線公式を書く」ようにしますが・・・「接線」の問題なのではなく「ax^2＋bxy+cy^2+1=0の曲線論の問題」の可能性は考えられませんか？

お礼

問題としては、微分積分を扱う問題のはずですが、
出てきた式を見て、真っ先に2次曲線だなって思い当たってしまったのが変な偏見を持ってしまった原因かもしれません。
一応は解答ができあがっているので、一旦時間をおいて気持ちを切り替えて問題に当たれば別の解答法が見つかる気がするので、またがんばってみます。
ありがとうございました。

回答No.3

dephands

>前者の解き方は楕円の時はともかく放物線や双曲線の時は∞まで行くんで全部調べるのは無理っぽいですね。

いや、たとえばy=x^2のときは、放物線上の[任意]の点(t,t^2)上で接線が求められるので、無限まで覆えます。
#放物線上の任意の点に対して、それより大きなx座標をもつ放物線上の点が存在し、その点でも接線が存在します
##ってことでいいのかな。ε-δは長らく触ってないので忘れたが。

もちろん、今のCにはこの放物線は含まれていませんが、言ってることはわかりますよね。

全部求める、といったときに注意するのはむしろ、a=b=0;c=-1のようなときにCが2直線y=±1を表すとか、そういった特別な曲線のときに怪しいことになることに注意しないといけません。

なので、前者の回答の方針としては、
(双曲線の時と楕円の時に分ける必要があるかもしれない。ないかもしれないけど。)
(a,b,c)のままC上の点(x,y)での接線を求める。
まずx、yをみて、微分が発散する点など怪しい振る舞いをする点があったら(円のx軸と交わる点とか)その辺をうまく処理する。

それでほとんどの(a,b,c)の組み合わせはつぶせますが、(a,b,c)の組み合わせで例外になっているのを探してそのところを具体的にやります。

って感じではないでしょうか。

後者の方針は、申し訳ないがさっぱりわかりません。
たぶん、それでやってできれば瞬殺っていう美しいやり方があるんでしょうけどね。

お礼

なるほど！
確かにそういうやり方ならできそうですね。
一応、後者の方針の方でそれっぽい回答ができたので、前者のやり方もやってみて吟味しようと思います。
ありがとうございました！

回答No.1

owata-www

＞これらになるのだったら間違いなく接線はどの点でも存在するというのは当たり前なのではありませんか？
それとも私の問の理解の仕方が間違っているのでしょうか？

当たり前だと思いますよ

ただ
この式は2次曲線の式なので楕円、双曲線、放物線のどれかになるので、当然接線はどの点でも存在する
という解答で○をもらえるとは思いませんが

お礼

＞という解答で○をもらえるとは思いませんが

ですよね。。。
まっ先にこれってどこでも存在するよね。なんか俺勘違いしてるの?って考えちゃって・・・f^^;

ちゃんとした回答考えてみます