n次元の行列式

質問

次の問題がどうやっても自分でできなくて困っています。
n次の単位行列の1の部分をすべてa、0の部分をすべてbに置き換えた
行列を考えるとき、この行列式を求めなさい。
行列式の性質を使うんでしょうか。
入れ替えたりしてみても進まず・・・。
どなたか解説をお願い致します。

回答No.4

Tacosan

「余因子展開」あるいは「ラプラス展開」を調べると幸せになれると思います. あと, 「三角行列の行列式は対角成分の積」ということを知ってるとちょっとだけ楽になることもあります.
でも, そこで「単位行列」にする必要はないなぁ.

お礼

ありがとうございました

回答No.3

Tacosan

なぜ「単位行列に持っていく」のかはわかりませんが 1列目で展開する.
ど～しても単位行列にしたければ, 各行から a-b をくくりだせばいい.

補足

再びすみません。実は似たような問題を参考書で発見して、
それを参考にもしてみたのですが、その解答では
4次元バージョンで
1 b b b
0 (a-b) 0 0
0 0 (a-b) 0 の行列式
0 0 0 (a-b)

の次の式が三次元の

(a-b)^3×三次元の単位行列

となっていたので、ここがどうして一つ次元が減って
単位行列になるのかが分からないのです。
これを初めから書いておけばよかったです。すみません。
もう一度回答お願いできませんか。

回答No.2

Tacosan

すまん, 基本変形だけでできる.
2～n行目をがさっと 1行目に足してみればわかる.

補足

回答ありがとうございました。
そのとおりに変形していくと

1 b b b　・・・・ 0
0 a-b 0 0・・・・ 0
0 0 a-b 0 ・・・・0　　の行列式×{a+(n-1)b}
0 ・・・・・・・・0
0・・・・・・・・ 0
0 0 0 ・・・・・a-b

となりました。
このあと(a-b)もくくれることはわかったのですが、
残りの部分をどうやって単位行列に持っていけばいいのでしょうか。
まだ初心者なので気づきませんでした。
お願い致します。

回答No.1

Tacosan

固有値と固有ベクトルを求めるのが簡単.
[a+(n-1)b](a-b)^(n-1)
かな.

お礼

ありがとうございました。
これを目指して解かせていただいています。