反応の確率について

質問

反応点が2箇所ある化合物(A)と
そこに反応する化合物(B)があるとします。

Aの反応点に1つ目が反応した場合、2つ目も同様に反応するとします。

それぞれ4分子を反応させた場合の生成物の比は、
ABB(AにBが2つ入る)：AB(AにBが1つ入る)：A(AにBは1つも入らない)＝1：2：1となる場合の数学的な計算方法をお教えください。

できればAとBの組成を変えた場合の参考例も教えていただくと
助かります。

よろしくお願いします。

回答No.2

noname#160321 · ベストアンサー

＃１のお答えは条件付けが違っています。
Ｂと反応するＡの点二つの反応性が等価だとすれば「充分長い」時間の後(これが＃１と逆)反応生成物は二項分布(a1＋a0)^2に従うので、
展開すれば、１*a1^2＋２*a1a0＋１*a0^2、ここでa1は反応する確率a0は反応しない確率なのでa1＋a0＝１になります。
４分子なので４倍すれば１：２：１となるでしょう。

>AとBの組成を変えた場合
こちらは多少ややこしく見えますが、
１.Ａが過剰にあり、さらにＢが完全に消費されると仮定すると、生成物の比は[ＡＢ2]：[ＡＢ]＝１：２になり、反応しなかったＡは、
[Ａ]＝[Ａ]0－２[ＡＢ2]－[ＡＢ]　[Ａ]0はＡの初濃度。
になります。
２.ＢがＡの２倍を越えると全部ＡＢ2になってしまいます。(この場合もＢが完全に反応するという前提がありますので、そうならない場合はＢが大過剰に必要になります)
３.ＢがＡのｎ倍(１≦ｎ≦２)の場合、今度もＢが完全に反応するとすると、
２[ＡＢ2]＋[ＡＢ]＝[Ｂ]0＝ｎ[Ａ]0
[ＡＢ2]＋[ＡＢ]＝[Ａ]0
で決まってしまいます。もちろん未反応のＡは存在しません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
二項分布に関する知識を掘り起こして勉強してみます。
ありがとうございました。

回答No.6

jamf0421

No3,No4,No5です。反応が不可逆とおっしゃられ、前の平衡定数の話をいきなり飛ばして二項分布の話をして不都合と思いまして補足します。
A+(1+α)B→(1-α)AB+αABB
においてA:AB:ABB＝1:2:1になるようにするにはAの初期量aがa/4になり、この時ABがa/2、ABBがa/4になりました。(No3の式(15)は書き違いで失礼しました。a/4です。）与えられた条件が不可逆ならば
K={(a/2)^(2/3)(a/4)^(1/3)}/{(a/4)(b-a)^(4/3)}
のKが∞にならないといけません。明らかにb=aの時でこの時にBの量はゼロになりA:AB:ABB=1:2:1になっています。これはNo5の回答と一致しております。

回答No.5

jamf0421

> 今回お願いした質問では反応は不可逆でした。

Aに対するBの分配の考察ならNo2さんの考え方がよいですね。AとBとCを考えます。CはAの空席に対応し、反応後にACC、ABC、ABBが出来ると考える訳です。A, B, Cの量をそれぞれa,b,cとすれば、Aに２座席あるので2a=b+cです。Bの入る確率をp, Cの入る確率をqとすれば、p=b/2a, q=c/2aで分布は二項分布で(p+q)^2=p^2+2pq+q^2
になります。b=c（すなわちa=b）ならばp=q=0.5で分布は
ABB:ABC:ACC=ABB:AB:A=0.25：0.5：0.25=1:2:1
になります。b=2aになったときp=1, q＝0となり、分布は
ABB:AB:A=1:0:0
ですべてがABBです。No2さんの２の場合にあたります。b>2aならABBの他にBが残ります。bがcよりも小さくなっていくにつれてqが1に近づき、pがゼロに近づきます。
要するにp, qに従って二項分布の式によりABB、AB、Aの割合が変動します。

お礼

大変分かりやすいご説明ありがとうございました。
きちんと理解して役立てたいと思います。

回答No.4

jamf0421

No3です。No3の回答に勘違いがありました。最後の部分に書いた平衡定数（もしここで平衡になっているなら(3)式の平衡定数は(13)-(15)をつかってK=[a][a]/{2[a][b-a]}...(16)以下の部分）は式が間違っています。化学式の係数乗を入れ忘れました。望む比率が平衡になる時は
K=(a/2)^(2/3)(a/4)^(1/3)/{(a/4)(b-a)^(4/3)}
が平衡定数です。Kがわかるとb-a(差)が決まるようですね。

回答No.3

jamf0421

普通に化学屋式の解を考えてみます。
A+B⇔AB...(1)
αAB+αB⇔αABB...(2)
ここでα≦1です。(1)と(2)を合せると、
A+(1+α)B⇔(1-α)AB+αABB...(3)
となります。初期にAがa、Bがbあったとし、Aがx反応してa-xになった瞬間を考えます。
(3)の各項の濃度は、
A；a→a-x...(4)
B；b→b-(1+α)x...(5)
AB；0→(1-α)x...(6)
ABB；0→αx...(7)
b≧(1+α)xでなければならないことがわかります。
ここでABB：AB：A=1:2:1が要請されていますから、
2αx=(1-α)x...(8)
2(a-x)=(1-α)x...(9)
(8), (9)より
α=1/3...(10)
x=3a/4...(11)
です。この(10), (11)を(4)-(7)に代入すれば
A；a-3a/4=a/4...(12)
B；b-(1+1/3)(3a/4)=b-a...(13)
AB；(1-1/3)3a/4=a/2...(14)
ABB；(1/3)(3a/4)=a/2...(15)
になります。ここでb≧aの条件が必要です。Aがa/4に減り、Bがb-aになった時に所要の条件1：2：1は満たされます。
ただし、これは平衡点ではなく、1：2：1になるにはx=3a/4だけ反応が進めばよい、と言っているだけです。もしここで平衡になっているなら(3)式の平衡定数は(13)-(15)をつかって
K=[a][a]/{2[a][b-a]}...(16)
即ち
K=1/{2(b/a-1)}...(16)'
になります。(3)の平衡定数を知っているならば、これをつかって(16)'で決まるbとaの比率で混合すれば1:2:1で平衡になります。（Bの量はb-aです。）また、b<aならばこのような形の平衡定数が出てこないことがわかります。

補足

丁寧なご回答ありがとうございます。

今回お願いした質問では反応は不可逆でした。
説明不足ですいません。

当方の知識がついていけていないのかもしれませんが、
1:2:1という比率は条件ではなく、結果という意味での数字なので
お教え頂いた方法が適用可能かじっくりと考えてみます。

回答No.1

sanori

こんばんは。

ABB(AにBが2つ入る)：AB(AにBが1つ入る)：A(AにBは1つも入らない)＝1：2：1
なので、可逆反応でなければ、
ABBの確率：ABの確率：Aの確率：その他　＝　1：2：1：0
です。

よって、

ABBの確率　＝　１／４
ABの確率　＝　２／４　＝　１／２
Aの確率　＝　１／４

です。

ご質問文に忠実に答えたつもりですが、門外漢なので、間違っていたらご容赦を。

お礼

ご返答ありがとうございました。
1:2:1というのは条件ではなく結果という意味での
数字でした。説明不足ですいません。