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方程式の解き方
唐突ですみません。 ax=tanh(x) (0 < a < 1) の解き方を教えて下さい。
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siegmund です. > 数値計算をやったことがないのですが、例えば「Mathematica」でもやれるんでしょうか? mathematica が使えるのでしたら FindRoot[0.5*x == Tanh[x],{x,2}] とやってみて下さい(Shift+Return を押す). a=0.5 に相当しています. 大文字,小文字は区別があります. かっこの種類にも注意. 0.5*x == Tanh[x] が方程式を与えていますが, 単に = でなくて == と2つ続けるあたりにも注意してください. {x,2} は x=2 付近から解の探索を始める意味です.
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- mmky
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mmkyです。 乱暴でしたか。質問者さんごめん。 皆さん間違いの指摘ありがとう。 追伸まで
- siegmund
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ranx さん,springside さん,ご指摘のように微分しちゃっちゃまずいです. (1) ax = tanh x は超越方程式という分類に入るもので,きれいな形に解を表現することはできません. グラフ的に見れば,y = ax と y = tanh x との交点を探せばよいわけです. y = tanh x のグラフの概形は下図のようで,原点から傾き1で立ち上がり, だんだん傾きがなまりながら y=1 の水平線に漸近していきます. グラフは,モニターから少し離れて目を細くして見ると多少ましかも知れません. y │ │ ├──────────── │ │ **** │ *** │ ** │ ** │ * │* └──────────── x 0 したがって,x=0 は常に解です. a≦0 あるいは a≧1 なら 解は x=0 のみですね. 問題の 0<a<1 の場合は解が x=0 の他に2つ(x>0 の解と x<0 の解,絶対値が等しい)あります. 上のグラフは x>0,y>0 の場合のみ描いていますが, x<0,y<0 にも原点に関して点対称な部分があります. 結局,a を具体的に与えて数値計算より仕方がないでしょう.
お礼
なるほど... 素敵なグラフまで、ご用意して頂き有り難うございました。 数値計算をやったことがないのですが、例えば「Mathematica」でもやれるんでしょうか?
- springside
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方程式を解くときに、「両辺を微分する」というのは間違いだと思います。 仮に、「方程式x^2=3x-2を解け」という問題があった場合、両辺を微分すると、 2x=3 ∴x=3/2 となりますが、与方程式の解はx=1,2なので、正しい答えではありません。 さて、ax=tanh(x)ですが、xの1次式関数と指数関数が混在している形なので、x=○というふうにきちんとした形にはならないと思うのですが。具体的にaの値を与えて数値的に解くというのならあり得ますが。
- ranx
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ちょっとちょっと、mmkyさん、 > 左辺のxを消すために両辺をxで微分すると、 これは乱暴じゃないですか? 二つのグラフ y=ax と y=tanh(x) の交点のところで、両グラフの傾きは同じじゃないと思いますよ。 それはそうと、どうやって解こうか...。 ちょっと考えさせて下さい。
- mmky
- ベストアンサー率28% (681/2420)
参考程度に 双曲線関数は面倒ですよね。 xについて解くということですよね。 ax=tanh(x) (0 < a < 1) 左辺のxを消すために両辺をxで微分すると、 {tanh(x)}'=sech^2(x)=1/{cosh(x)}^2 故、 a=1/{cosh(x)}^2 {cosh(x)}^2=1/a cosh(x)=±√(1/a) cosh(x)={e^x+e^-x}/2 :定義から {e^x+e^-x}=±2√(1/a) e^x=y, y≠0 {y-(1/y)}=±2√(1/a) 両辺にyを掛けると、 y^2-1=±2√(1/a)*y yの二次方程式(1)が出来ますね。 y^2-(±)2√(1/a)*y-1=0 --(1) (1)の解は、(0<a<1) y={(±)2√(1/a)±√{(4/a)+4}}/2 ={(±)√(1/a)±√{(1/a)+1}} yを元に戻して、 e^x={(±)√(1/a)±√{(1/a)+1}} 対数を取れば、 x=ln{(±)√(1/a)±√{(1/a)+1}} になりますね。 ということかな。
お礼
いえいえ、とんでもございません。 とても丁寧な返答に、感激しています。 そして皆様のご返信にも、とても感謝しています。 有り難うございました。