• 締切済み
  • すぐに回答を!

Taylor展開について教えてください。

複素関数についての質問です。 関数f(z)=e^(z^2-2iz)をz=iを中心としてTaylor展開せよ。 という問題がだされたのですが、どうやって解けばいいのか、わかりません。 解き方を教えてください。 e^(z^2-2iz)のk回微分が分かれば、解けると思うのですが、自分の力では解けませんでした。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数6
  • 閲覧数115
  • ありがとう数3

みんなの回答

  • 回答No.6

> e*Σ1/k!*{(z-i)^2k} > ですかね。 そうです。 e^x のテーラー展開は、e^x = Σ[k=0…∞] (1/k!)x^k。 これに x = (z-i)^2 を代入すると、 級数表示 e^(z-i)^2 = Σ[k=0…∞] (1/k!)(z-i)^(2k) を得ますが、右辺がまんまとテーラー展開の形に なっている訳です。 > e^(z^2-2iz)をz=iを中心としてTaylor展開せよ。 とは、 e^(z^2-2iz) を (z-i) のベキ級数で表せ ということですからね。 # e^x = Σ[k=0…∞] (1/k!)x^k の x は、複素変数です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • Taylor展開について

    f(x)が[a,b]でC[n-1]級で、(a,b)でn回微分可能なとき、 f(b)=f(a)+{f'(a)/1!}*(b-a)+{f''(a)/2!}*(b-a)^2+・・・ +{f[n-1](a)/(n-1)!}*(b-a)^(n-1) +R[n] R[n]={f[n](c)/n!}*(b-a)^n となるような、cがa<c<bで存在する。 これはほかの人の質問にfushigichanさんが書いてくださったものなのですが、C[n-1]級というのはどういうことなんですか? Taylor展開についてレポートを書かなきゃいけないのですが、講義でやっていなく、教科書もないので、困っています。おすすめの本などありましたら、教えてください。

  • Taylor展開について

    前にも同じ質問をしたのですが、分かりませんでした。 良ければ、もう少し詳しく教えてもらえませんか。 問題で f(x,y)=√{(1+x)/(1+y)}を、(0、0)でTaylor展開せよ。 とあるのですが。 このTaylor展開とはなんなんでしょうか? この問題をどう解くのか含めて教えてもらえないでしょうか。

  • Taylor展開の問題

    Taylor展開についての質問です。 (1+x)^(1/x)をx=0のまわりでx^3の項までTaylor展開せよ。 という問題が解けません。 Taylor展開の定義どおりに計算してもx=0を代入する時点で手が止まってしまいます。自然対数の底eが全ての項に出てくるという予想はあるんですが、二項展開をしても、どうもうまくいきません。 どなたか解法を教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いします。

  • 回答No.5
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

#4です。 A#4で >g(x)=e^zのz=0におけるTaylor展開をh(z)と置くと のg(x)はg(z)の間違いですので訂正します。 A#4の補足質問の回答 >e*Σ1/k!*{e^i(z-i)^2k} 間違いです。 正しい展開は Σ[k=0,∞](e/k!)*(z-i)^(2k) なお、 f(x)と使う時は変数xは実数平面の実変数、f(x)を実関数 f(z)と使う時は変数zは複素平面の複素変数,f(z)を複素関数 として扱っていることを表します。 Taylor展開式の中で変数をxと書くときはxを実数として考えており Taylor展開式の中で変数をzと書くときはzを実数として考えており f(z)が複素関数として扱うと言うことです。 したがって f(z)のz=iの周りのTaylor展開 とzを使って書くわけです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.4
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

>e^(z^2-2iz)のk回微分が分かれば、解けると思うのですが でも出来ると思いますが、計算量が多くなるので止めて、以下の方法を #2の方のアドバイスにあるやり方をした方がいいでしょう。 g(x)=e^zのz=0におけるTaylor展開をh(z)と置くと f(z)のz=iの周りのTaylor展開F(z)は F(z)=e*h((z-i)^2) となります。 後はご自分でよく考えて見てください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

e^x のテーラー展開は、収束半径∞になるのですね。;; そうすると、No3さんの言うとおり、xになんでも代入できるので、F(z)=e*h((z-i)^2)が成り立つのでしょうか? あまり理解ができてませんが、とりあえず答えだけは、だせた気がします。 e*Σ1/k!*{e^i(z-i)^2k} であってますか?あんまり自信がないのでよろしくお願いします。

質問者からの補足

あっまちがえましたz=0におけるTaylor展開でしたね。 そうすると、 e*Σ1/k!*{(z-i)^2k} ですかね。

  • 回答No.3

No.2 さんの言うとおり。 k 回微分して、テーラー展開の各項を求めるのは、 やめといたほうが無難です。 ヒントのヒント: e^x のテーラー展開は、収束半径∞になるので、 x に何でも代入できる ことに着目しましょう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

収束半径が関係してくるのですね。 収束半径すら、あまりわかってないです;; ∞だとxに何でも代入できるっていうのは、なんとなくわかりました。 ありがとうございました。

  • 回答No.2

e^(z^2-2iz) =e*e^(z^2-2iz+i^2) =e*e^((z-i)^2) とでも変形してみましょうか。 あとは頑張ってください。 ヒント、e^(z^2)をこれ自体を微分して求めるのはやめたほうがいい

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 なんとか、e*e^((z-i)^2)まで変形することはできました。 しかし、e^(z^2)自体を微分しないとなると、どのようにとけばいいのでしょうか? さっきから計算しているのですが、わかりません。

  • 回答No.1

z = i のまわりでの展開を求めよ、としているのがヒントです。 はい、もう一度考えましょう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • arcsinh(x)のtaylor展開

    arcsinh(x)のtaylor展開の仕方が分かりません。 wikipediaに載っている公式は知っているのですが、なぜそのようになるのか、「解き方」が分かりません。 どなたかよろしくお願いします。

  • Taylor展開に関する問題が解けません。

    関数f(x)はx=aの近傍でC^n級でf´(a)=・・・=f^(n-1)(a)=0,f^(n)(a)≠0である。 f(x)をx=aの周りでTaylor展開をして、nが偶数でf^(n)(a)>0のとき、f(x)はx=aで極小値をとることを示せ。 という問題が分かりません。どうしたらよいでしょうか?

  • 実関数のテーラー展開と複素関数のテーラー展開の違い

     実関数のテーラー展開はテーラーの定理から、複素関数のテーラー展開はコーシーの積分公式とグルサの定理から導かれますが、複素関数のテーラー展開で、実関数のときのようなラグランジュの剰余項がないのはなぜですか?

  • Taylor展開について

    前に出した質問 f(x,y)=√{(1+x)/(1+y)}を(0,0)でTaylor展開せよ。(n=3) を投稿しアドバイスをもらって答えを3と出したんですが、あっているのか不安です。 教えてください

  • 複素関数の問題

    複素関数の問題 次の複素関数の問題ですが,この関数の特異点が分からずに困っています? f(z) = 2 / ( λz^2 + 2μiz - λ ) ただし   z  :複素数 λ・μ:実定数でμ>λ>0です 追加で,この複素関数の特異点も教えていただけると幸いです f(z) = z^-c / ( 1+z ) ただし、0<c<1 です これの特異点は-1でいいのでしょうか? 以上、よろしくお願い致します

  • 複素関数の微分について

    かなり乱暴な質問だと思いますが、回答をよろしくお願いします。 複素関数f(z)がz。において微分可能であることを示すときに 「zがあらゆる方向からz。に近づいてきても ((f(z)-f(z。))/(z-z。)がある値に近づく」 というくだりがよくわかりません。 2変数関数の偏微分みたいに、方向によって値が違っていても いいような気がしますが、複素関数では同じになるのでしょうか? それとも同じになる時に限って微分可能と定義付けるのでしょうか?

  • cosαxのフーリエ展開

    cosαx の (-L/2≦x≦L/2) でのフーリエ展開の係数 Cn を求めるのですがですが、どう解けばいいのでしょうか? フーリエの複素関数の展開で解いたらよくわからなくなってしまったんです。 失礼だと思いますが回答のほうお願いします。

  • 複素関数論

    複素関数論の質問です。 Z^5=32を解いて図を書けという問題なのですが解き方がいまいちわかりません。 多分すごく簡単なことなんでしょうが、教科書を見てもいまいちわかりませんでした。なにとぞお願いします。。 あと、複素関数論のことが丁寧に書いてあるHPとかないですかね??

  • 複素微分について

     複素関数   f(z) = u(x,y) + iv(x,y) ・・・・・ u≠0、v≠0 は、2つの実数関数 u と v の組で表されるので、実数で微分したり積分したりすることはできると思いますが、   g(z) = u(x,y) ・・・・・ v = 0   h(z) = iv(x,y) ・・・・・ u = 0 は C-R の方程式を満たさないから、h や g を複素数で微分することは不可能なのですよね?  つまり、実関数を複素関数の一部と見なしても、実関数を複素数で微分することはできないと考えてよいかということです。  あんまり当たり前のことなのか(笑)、私が持っている2つの複素関数の本にはその類いの説明はありません。

  • 複素関数でexp[iz]がある時。

    度々お世話になります。 複素関数を習ったことがないのですが、どうやら試験問題で複素関数を解かなければならないようで、急ピッチで勉強しています >< その際、応用問題の中に、 ∫( )の、( )の中にexp[iz]のある、問題があったのですが…、 このような場合どのような手法を使って解き進めていくべきかお教え下さい。テーラー展開などで展開した式でも使うのでしょうか? それとも、zを三角関数に直して上手く積分可能な式に変形していくのでしょうか? また、似たような問題の詳細な解答例のある資料、本も探しております。少し時間が無くて書店に買いに行ける状態でもないので、インターネットで閲覧できるのが望ましいのですが…。 応用例の詳しい、お薦めの本を知っておりましたら一緒に教えてくださると助かります。 どうか宜しくお願いします。

専門家に質問してみよう