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離散数学
Z*を非負整数全体の集合とする。 Z*上の関係R={(x,y)|x+y=0}に対し、反射性、反反射性、対称性、反対称性、推移性のそれぞれが成り立つかどうか述べよ という問題で、 答えは「対称性、反対称性、推移性が成り立つ」なのですが、 理由がわかりません。 どなたか、どうか教えてくださいm(__)m
- isseko2009
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この分野は一応「離散数学」ですから....＞#1. 対称性と反対称性はどちらも x≠y のときだけ気にすればよく, そのような任意の x, y に対し ・(x, y) ∈ R なら (y, x) ∈ R: 対称 ・(x, y) ∈ R なら「(y, x) ∈ R でない」: 反対称 です. だから, x≠y のときには成り立たない関係であれば対称かつ反対称です. 特に空関係や「x = y という関係」は対称かつ反対称. ちなみに「反反射性」の定義はほかにあるかもしれないので注意. 少なくとも手元の本では, すべての x に対し「(x, x) ∈ R でない」という定義を採用していたりします. この定義を使うと, その R は反反射性を満たしません.
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- kabaokaba
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同じことを繰り返すけども定義に従うだけ あ，Z*上だったこと見逃してた！ だから答えは・・・反射性が落ちてるから完全ではないけども 間違ってはいないかな xとyに関係Rが成り立つ（(x,y)がRの要素である）ことを xRyと書くことにする ・1R1ではないので「反反射」 ・xRyならばyRxなので（x+y=y+xだから）「対称」 ・「xRyかつyRx」であるとする x+y=0かつx,y>=0なのでx=y=0，つまりx=yで，よって「反対称」 ・xRyかつyRzとする このとき，x=y=z=0なので，xRzとなり「推移性」あり こんなとこだろか
お礼
そう説明されると定義通りですね。 考えすぎました。 ありがとうございました。
- kabaokaba
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何がどう「離散数学」なんだかわからんが・・・ これも丸投げで削除対象かのお 定義に従って地道に処理すればいいだけ． けど，私には ＞答えは「対称性、反対称性、推移性が成り立つ」なのですが、 が正しいとは思えない． 対称・反対称，反射・反反射，推移・反推移の定義をどうぞ．
補足
「(x,y)∈R→(y,x)∈Rなら対称性」 「(x,y)∈Rかつ(y,x)∈Rならx=yであれば反対称性」 「全てのxに対して(x,x)なら反射性、違えば反反射性」 「(x,y)∈R,(y,z)∈Rなら(x,z)∈Rであれば推移性」 対称性と反対称性が同時に成り立つとは思えないです、 答えのミスかと疑っています。 この関係Rを満たす(x,y)=(0,0)であるのは分かります。 定義より、反対称性を満たすのも理解できます。 しかし他の性質で満たすものがあるかどうか分かりませんm(__)m
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反反射性、満たしませんね。 ありがとうございましたm(__)m