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chiropyの回答
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f(x)=1+x+x^2+…+x^(n-1) =1*(1-x^n)/1-x ここでn→∞の極限をとる時 ｜x｜＜1ならば lim f(x)[n→∞]=1/1-x となります。 より｜x｜＜1ならば 1+x+x^2+…+x^(n-1)+…＝1/(1-x) 右辺→左辺なら数列の知識で導けます では逆はどうか。テイラー展開を知っていると早いです。 f(x)=1/(1-x) f'(x)=1/(1-x)^2 f''(x)=2/(1-x)^3 … f^n(x)=n!/(1-x)^(n-1) より f(x)= f(0) + (1/1!)*f'(0)*x + (1/2!)*f''(0)*x^2 + … + (1/n!)*f^(n-1)(0)*x^(n-1) + … = 1/(1-0) + (1/1!)*1/(1-0)^2*x + (1/2!)*2/(1-0)^3*x^2 + … + (1/n!)*n!/(1-0)^(n-1)*x^(n-1) + … = 1/(1-0) + 1/(1-0)^2*x + 1/(1-0)^3*x^2 + … + 1/(1-0)^(n-1)*x^(n-1) + … = 1 + x + x^2 + … + x^(n-1) + … よりテイラー展開より 1/(1-x)=1+x+x^2+…x^(n-1) が示される。
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