Taylor展開について

質問

「f(x)=exp{itx} をx=0のまわりで、３次の項までTaylor展開せよ」という問題で、exp{x}の有限Maclaurin展開： exp{x}=1+x+x^2/2!+…+x^(n-1)/(n-1)!+exp{θx} *x^n/n!
という式にx=itxをそのまま代入したら違うと言われました。どこがどう違うのか教えてください。それと、有限Maclaurin展開でf(x)=f(0)+…+f^(n-1)(0)/(n-1)!*x^(n-1)+Rn, Rn=f^(n)(θx)/n!*x^n (0<θ<1)
とありますが、なぜRnだけこんな形になるんですか？
教えてください。

回答No.4

scale--free

>「f(x)=exp{itx} をx=0のまわりで、３次の項までTaylor展開せよ」という問題で、
> exp{x}の有限Maclaurin展開： exp{x}=1+x+x^2/2!+…+x^(n-1)/(n-1)!+exp{θx} *x^n/n!

> という式にx=itxをそのまま代入したら違うと言われました。

gongon92さんの解答であっていると思うのですが。。。
そもそも exp{itx} をTaylor展開せよ、と言うもんだい自体変ですよね。
なぜなら、いま虚数単位iがあるから、exp{itx}は複素関数です。
複素関数論では、exp{z}の定義は級数で
exp{z} = Σ_{n=0}^{∞}z^n/n!
です。

実関数のTaylor展開とは、展開する点の周りで関数を多項式で近似する方法を与えているわけです。
剰余項 R_n は、近似誤差を表す関数です。
たとえば、物理とか工学などでは、変位の２次以上の項を無視するということをしますが、その無視している項がR_2と言うことになります。

回答No.3

torahuzuku

テイラーの定理を、
　f(b)=f(a)+(b-a)*f'(a)+(b-a)^2*f”(a)/2!+…+(b-a)^(n-1)*f{n-1}’(a)/(n-1)!+Rn　………(1)と置き　ます。すると、
　Rn=(b-a)^n*f{n}’(x)/n!　となりますね。{n-1}’は(n-1)回微分、{n}’はｎ回微分という意味とします。
ここで、a＜x1＜b とすると
　(x1-a)/(b-a)=θ と置くと x1=a+θ*(b-a) 1＞θ＞0
よって、
　Rn=(b-a)^n*f{n}’(x1)/n!=(b-a)^n*f{n}’{a+θ*(b-a)}/n!
これは、ラグランジュの剰余形式ですね。
ここで、(1)式においてbをaで置き換えると
　f(x)=f(a)+(x-a)*f’(a)+(x-a)^2*f”(a)+…＋(x-a)^(n-1)*f{n-1}’(a)/(n-1)!+(x-a)^n*f{n}’*{a+θ*(x-a)/n! ですね。そこで a=0 と置くと、
　f(x)=f(0)+x*f’(0)+…+x^(n-1)*f{n-1}’(0)/(n-1)!+x^n*f{n}’(θx)/n!　となります。

次に、f(x)=exp{itx}をx=0のまわりで３次の項までテイラー展開すると言うことは、
　f(x)=f(0+x)=f(0)+f’(0)*x/1!+f”(0)*x^2/2!+f{3}’(0)*x^3/3! になります。
よって、
　f(x)=exp{itx}=1+(it)*x-t^2*x^2/2!-it^3*x^3/3!
となりませんか？間違っていたらごめんなさい。

回答No.2

4313kiyo

No.1さんのように、専門的でも深くもない回答ですが、テーラ展開というのは簡単に説明すると、ｘ＝ｘの時にｙ＝ｆ(ｘ)となる式の、微小変化後の式を推測できる、という式です。
　テーラ展開を用いれば、微小変化後のｘ＝ｘ＋Δｘを、そのままｙ＝ｆ(ｘ＋Δｘ)とするのではなく、ｙ＝ｆ(ｘ)＋・・・といった風にのちの式を求めることができます。
　なぜテーラ展開で求められるかというと、ｘ＝ｘの点で、与式を微分してやると、接線が求まり、微小変化後の傾きも求まります。しかし当然ながら、接線というのはｙ＝ｆ(ｘ)とは違うため、微小変化Δｘを大きくみると、ずれが生じています。そのずれを埋めるため、接線を微分し、接線の傾きを求めます。これを無限回繰り返したものが、まさにテーラ展開です。
　さて、テーラ展開の本質を知った今、Rnの展開について考えて見ましょう。単に、Rnをｎ回微分したものを足せばいいわけです。
　つたない日本語で、うまく伝わらなかったかもしれませんが、わかっていただけましたでしょうか？

回答No.1

adinat

Rnは剰余項と呼ばれますが、いくつかの表示の仕方があります。ややこしい形に見えるのは、平均値の定理のような形でしかn次まで展開できないからです。たとえば、通常の平均値の定理は、たとえばx>aとして、
{f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(c) ただしa<c<x
のようになりました。これ自身はグラフを見れば直感的には自明な定理ですし、中間値の定理を用いて厳密に証明することもできます。ただし右辺は「f'のどこかの値」ということしか言えていないわけです。Taylor展開というのはn次まで拡張された平均値の定理のようなものなので、そのためn次の微分のところにθxという不確かなものが入っています。0<θ<1ということは、0<θx<xというわけです(x>0であれば)。平均値の定理と比べるため、n=1、a=0としてみられてはどうでしょうか？まったく同じであることがわかると思います。

たとえば次のようなページを参照されるとよいでしょう。「Taylorの定理」で検索されるか、本を探されると、より詳しい説明が得られるかも知れません。
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/euler/mean.html
f(x)=exp{itx}をx=0のまわりで展開する場合、この展開の収束半径は無限大なので、形式的にxを置き換えるのはなんら不都合はないのですが、平均値の定理などを複素関数版でちゃんとやっているのかどうかというところが大変に怪しいわけです。というわけで、いちばん無難な方法を提示しておけば、
exp{itx}=cos{tx}+i*sin{tx}
としておいて、cos{tx}とsin{tx}のTaylor展開を求めてそれを足すという方法が考えられます。最後、剰余項の部分をexpのままでやった剰余項の形にちゃんと変形できるのか考えられて見るとよいと思います。そうすることによって、なぜそのまま代入する方法ではダメなのか、あるいは実はやってもよかったのかが判明するでしょう。