積分です

質問

∫cos＾ｎdxは、∫cosx×cos^n-1xdxにするのは分かるんですけど、ここからどうしたらいいんですか？

回答No.1

owata-www · ベストアンサー

In=∫cos＾ｎdxとおく。

In=∫cos＾ｎdx
=∫cosx×cos^(n-1)xdx
=∫(sinx)'×cos^(n-1)xdx
=sinxcos^(n-1)x -∫sinx×{cos^(n-1)x}'dx (部分積分)
=sinxcos^(n-1)x -(n-1)∫sin^2x×cos^(n-2)xdx （{cos^(n-1)x}'＝-(n-1)sinxcos^(n-2)x より ）
=sinxcos^(n-1)x +(n-1)∫(1-cos^2x)×cos^(n-2)xdx
=sinxcos^(n-1)x +(n-1)∫cos^(n-2)x-cos^nxdx
=sinxcos^(n-1)x +(n-1)(In-2 －In)　

整理して
In={sinxcos^(n-1)x +(n-1)In-2}/n
になります。あとは、下っていってください

お礼

わかりやすい解説ありがとございました。