定義と除法

質問

数学において定義ってなんですか？
というよりは
それは定義だからとか言うのはどういう意味ですか？

除法が逆数の乗法になおせるのはなぜですか？
念のため減法が加法になおせる理由もさらっと教えてください。

回答No.6

koko_u_ · ベストアンサー

>問題のだしっぱなし、答えさせっぱなしは勘弁してください。
>ちょっと悲しくなります。

ふむ。
私が「正解です」と言った所で、あんまり意味があるとは思いませんが、
おおよそ合っています。

定義や公理が気になっているんですよね。
あなたの解答にもまだまだ考える余地はありますよ。

お礼

回答ありがとうございます。

がんばります。

回答No.7

proto

質問者様の考えていることは、定義だけでなく、
「無定義述語」「定義」「公理」「定理」これらすべての意味とそれぞれの繋がりがわかって初めてすっきり理解できるものだと思います。
実際、高校までの数学ではほとんど教えられないことなので何となくでしか理解できていないのは無理もありません。私も下のURLにある書籍を読んで初めてそれらの繋がりが理解できました。
本では高校生でも理解できる程度に優しく書いてありますが、それでもそれをすべて解説するとなると私には難しすぎます。ぜひ本を読んでみてください。

不完全性定理―数学的体系のあゆみ
http://www.amazon.co.jp/%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86%E2%80%95%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E4%BD%93%E7%B3%BB%E3%81%AE%E3%81%82%E3%82%86%E3%81%BF-%E3%81%9F%E3%81%AE%E3%81%97%E3%81%84%E3%81%99%E3%81%86%E3%81%8C%E3%81%8F-%E9%87%8E%E5%B4%8E-%E6%98%AD%E5%BC%98/dp/4535605025/

お礼

回答ありがとうございます。

本おもしろそうですね。
高っ！

回答No.5

33550336

回答ではないのですが…

>>A.No.3様
> 「無条件に正しいと認めるもの」
は公理ではないでしょうか？
定義とはNo.2様のおっしゃるとおり、「用語の取り決め」の方が適切かと思われます。
たとえば
「２本の異なる平行線は交わらない」はEuclid幾何学における公理であって定義ではありませんよね？
平行線の意味を述べたとき、それが「平行」の定義になるのではないのでしょうか？

勉強不足ゆえ、平行の定義は知りませんが…

お礼

ありがとうございます。

実はそんな気がしてました(笑）
公理って一度くらいしか聞いたことないんで自信なかったですけど。

回答No.4

koko_u_

確かに中学校くらいだと、定義の内容が不明確なまま授業が進んでいたような記憶がありますね。

しかし、厳密に進めようとすると fjdaljao さんの言う、「意地の悪い」話が延々と続いて、
脱落者が続出すること請け合いでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。

ちゃんとやってくれたほうがいいんですけどね。

補足

あの・・言いにくいんですが・・すいません
問題のだしっぱなし、答えさせっぱなしは勘弁してください。
ちょっと悲しくなります。

回答No.3

Tacosan

う～ん....
「数学」という学問自体が「どれだけ意地の悪い人でも納得せざるをえないような論理の展開をする」ものではありますからねぇ.... そういう意味では「意地の悪い学問」かもしれません.
議論をしようとすると, 「無条件に正しいと認めるもの」を基礎にしなければなりません. それが「定義」です. だから, 「それは定義だから」というのは, 単純に言うと「それは正しいって最初に決めてたよね」と言っているのと同じです.

お礼

回答ありがとうございます。

今更ですが授業で定義って強調して教えてほしかってなあ。
どれが定義かすら定かではないです。

補足

ついでに
符号とか負の数って定義ですか？
負の数の四則演算って定義ですか？
減法が加法になおせるのは負の数を定義したからっていうか
負の符号が意味することができるからですか？

回答No.2

koko_u_

>それは定義だからとか言うのはどういう意味ですか？

「用語の取り決め」に従えば当然だ、という風な意味ですね。

>除法が逆数の乗法になおせるのはなぜですか？
「除法」という用語は乗法の逆演算として定義されます。

(定義１)
除法 Ａ÷Ｂ が Ｃ であるとは、Ｂを乗じてＡになる（Ｃ×Ｂ＝Ａ）数Ｃのことを言う

(定義２)
Ｂの逆数とは、定義１で特にＡが 1 であった場合のＣのことを言い、１／Ｂと書く

(命題)
Ａ÷Ｂ ＝Ａ×(１／Ｂ）である

はい、命題の証明を補足にどうぞ。

お礼

回答ありがとうございます。

原始人に現在の風習をいきなり理解させようとするくらい
自分に数学を教えるのは無茶なことですかね？

なんか数学ってできあがっちゃってて抽象的というか
教えてる人が意地悪く感じます。
わかんないようにいってんじゃねえぞこらみたいな（笑）。

補足

Ａ÷Ｂ　＝　Ｃ
とすると、定義１より
Ｃ×Ｂ　＝　Ａ
両辺にＢの逆数をかけると
Ｃ×Ｂ×１/Ｂ　＝　Ａ×１/Ｂ
定義２より、Ｂの逆数とはＢとの積が１である数なので
Ｃ×１　＝　Ａ×１/Ｂ
よって
Ｃ　＝　Ａ×１/Ｂ
これより
Ａ÷Ｂ　＝　Ａ×１/Ｂ
となる　　　　　　　　（証明終）

適当ですが正解ですか？
いかにも学問というわかりにくさを感じます。

回答No.1

Willyt

定義というのは取り決めと言い替えればいいと思います。たとえば平行線は交わらないというのは定義です。実は交わっても構わないのです。

除法が逆数の乗法に直せるのは次のように考えればいいのです。

Ａ÷Ｂ＝Ａ×（１÷Ｂ）

1÷ＢはＢの逆数ですよね？

減法が加法に直せるのも同じです。

Ａ－Ｂ＝Ａ＋（ーＢ）

お礼

回答ありがとうございます。

何も説明されてないとおもうのは自分の理解不足ですか？