分数式について教えてください

質問

x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 / x^3 + y^3
=(x+y)^2 / x^2 - xy + y^2

この分数の分子の計算で
x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
=(x+y)^3
と、なるのは何故ですか

x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 　を因数分解すると (x+y)^3 になるのは公式として習うものですか？

回答No.5

pochy1

証明するなら、
x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
= x(x^2 + 2xy + y^2) + x^2y + 2xy^2 + y^3
= x(x^2 + 2xy + y^2) + y(x^2 + 2xy +y^2)
= x(x + y)^2 + y(x + y)^2
= (x + y)^2(x + y)
= (x + y)^3

公式というより、いつの間に覚えていたという感じでした。
受験レベルではあまり役に立った記憶はないですが。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

R_Earl

> x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 　を因数分解すると (x+y)^3 になるのは公式として習うものですか？

公式として習うのは高校1年の時期です（学校によって違うかもしれませんが）。
数学Iの「因数分解」の分野で、

(a + b)^3を展開するとa^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3なので
a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3は(a + b)^3に因数分解できる。

と習います。
今後も頻繁に使うので、覚えておいた方が良いと思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

ozunu

この程度だったら、機械的に出てきて普通。
(a+b)^nの展開は、二項定理という基本の「き」

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

owata-www

(x+y)^3=(x+y)(x+y)(x+y)
=(x^2+2xy+y^2)(x+y)
=x^2*(x+y)+2xy*(x+y)+y^2*(x+y)
=(x^3+x^2y)+2(x^2y+xy^2)+(xy^2+y^3)
=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3
です。

まあ、公式というより常識に近いですが…

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

cotton-3

はじめまして、

この分数の分子の計算で
x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
=(x+y)^3
と、なるのは何故ですか

の部分でしたら(x+y)^2(x+y)で一旦前半を計算した後、それにもういちど(x+y)を掛けてみれば
と計算してみれば自然と導き出されると思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。