多項式の一般形から、具体的な式はどう出せばよいのですか？

質問

文系大学生ですが、必要なので離散数学を独学しています。
周りに相談できる方がおらず、困っています。お答え頂ければ非常に幸いです。（ひょっとしたら高校レベル以下の話かもしれませんが・・・）

体の上の多項式の一般形が出てくる箇所です。
ある練習問題で、mod.2の剰余類が{0,1}と表されており、
この上の多項式
f(x)=xの2乗+x+1, g(x)=x+1　について、ふたつの和と積を求めろというものがありました。

分からないのはこの問題の解き方でなく、多項式の一般形から、
上のf(x)やg(x)のような多項式がどうやって導き出されるかです。
何冊か参照し、しばらく考えましたが、恥ずかしながら理解できていない状態です。
（この場合のf(x)などの式の係数には、当然上の集合の要素のみが使われているのですよね？）

以上になります。
どうか、よろしくお願い致します。

回答No.2

gef00675 · ベストアンサー

そのリンク先が見えないので、こちらの推測でお答えしますが、
n次多項式の一般形は
　f(n)=an*x^n+…a2*x^2+a1*x+a0
という形でしょう。
　係数a0,a1,a2,...,は0または1ですから、

> f(x)=xの2乗+x+1

は、係数がa2=1, a1=1, a0=1, その他のanはすべて0という多項式です。

ただ、a0,a1,...,はmod 2で考えているので、0+0=0, 1+0=1, 0+1=1だけども
1+1≡0 (mod 2)
であることに注意してください。

例えば、(x+1)(x+1)=x^2+2x+1≡x^2+1となります。

GF(2)での演算は、今までやり慣れた計算とは異なることに注意しましょう。

お礼

gef00675 様

ご回答、大変ありがとうございます。

リンクはWikipediaの多項式の項目です。すみません、うっかりしててのせわすれてました。

ありがとうございます、一般形は仰せのとおり、
f(n)=an*x^n+…a2*x^2+a1*x+a0
です。

> f(x)=xの2乗+x+1
> は、係数がa2=1, a1=1, a0=1, その他のanはすべて0という多項式で> す。
>
ということは、係数の番号が違っていても、同じ係数でもいい、ということでただしいでしょうか？a2=1, a1=1, a0=1　は、そういうことを言っているのですよね？

私は{0, 1}の中で、anが決まるのかと思っていました。だから、必ずa0=0、a1=1、みたいな風に思ってしまっていましたが、完全に誤っていたようですね。

mod.2の計算はだいじょうぶです。ありがとうございます。

回答No.3

gef00675

＞　ということは、係数の番号が違っていても、同じ係数でもいい、ということでただしいでしょうか？

そういうことです。係数の番号と、係数のとる値には何も関係がありませんから。

お礼

非常に参考になりました。
お手数おかけしました、ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

う～んと,
「多項式の一般形から、上のf(x)やg(x)のような多項式がどうやって導き出されるか」
とは, 何を質問されているのでしょうか? 特に「一般形」という言葉でどのような形の多項式を想定しているのか, ちょっと想像ができません.
まあ, このような場合はえてして「天から授けられた」とかいうレベルだったりしますが....

お礼

お返事、大変ありがとうございます。

一般形（何冊かの本にそう書いてありました）というのは、下リンク先にあるような、一変数多項式のものです（次数やn乗など、パソコンでどうやって打ったらよいか分からなかったので、質問の最初にはのせられませんでした）。

{0, 1}から、先のf(x)=xの2乗+x+1　や g(x)=x+1 は、この一般形に照らし合わせると、どうやって書くことができるのだろう、というのが疑問です。

すみません、よろしくお願いします。